1、第三章 变化率与导数 1 变化的快慢与变化率,银杏树高:15米 树龄:1 000年,雨后春笋高:15厘米 时间:两天,世界上变化无处不在，如何刻画事物变化的快慢呢？,1.理解函数平均变化率及瞬时变化率的概念. 2.会求给定函数在某个区间上的平均变化率及某一点的瞬时变化率.（重点） 3.理解平均变化率及瞬时变化率的意义，能够解释生活中的现象.（难点）,探究点1 平均变化率定义,问题（1） 物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体经过时间t走过的路程，显然s是时间t的函数,表示为s=s(t).在运动的过程中测得了一些数据，如表：,物体在02s和1013s这两段时间内，哪一段时间运动得更快？如何刻画物
2、体运动的快慢？,分析：我们通常用平均速度来比较运动的快慢. 在02s这段时间内，物体的平均速度为,在1013s这段时间内，物体的平均速度为,显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快.,问题（2）,某病人吃完退烧药，他的体温变化如图所示：比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？,y/(oC),x/min,0,10,20,30,40,50,60,70,36,37,38,39,分析：根据图像可以看出：当时间x从0 min到20 min时，体温y从39 C变为 38.5 C，下降了0.5 C；当时间x从20 mi
3、n到30 min时，体温y从38.5 C变为 38 C，下降了0.5 C.两段时间下降相同的温度，而后一段时间比前一段 短，所以后一段时间的体温比前一段时间下降得快. 我们也可以比较这两段时间中，单位时间内体温的平 均变化量，于是当时间x从0 min变到20 min时，体温y,相对于时间x的平均变化率为当时间x从20 min变到30 min时，体温y相对于时间x的平均变化率为这里出现了负号，它表示体温下降了，显然，绝对值越大，下降得越快，这里，体温从20 min到30 min这段时间下降得比0 min到20 min这段时间要快.,分析 上面的第一个问题中，我们用一段时间内物体的平均 速度刻画了
4、物体运动的快慢，当时间从t0变为t1时， 物体所走的路程从s(t0)变为s(t1)，这段时间内物体 的平均速度是,第二个问题中，我们用一段时间内体温的平均变化率刻画了体温变化的快慢，当时间从x0变为x1时，体温从y(x0)变为y(x1)，体温的平均变化率你能类比归纳出“函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率”的一般性定义吗？,抽象概括： 1.平均变化率的定义:,对一般的函数yf(x)来说，当自变量x从x1变为x2时， 函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为通常我们把自变量的变化x2x1称作自变量的改变量， 记作 函数值的变化f(x2)f(x1)称作函数值的改变 量，记作,函数的
5、平均变化率就可以表示为函数值的改变量与 自变量的改变量之比，即,我们用它来刻画函数值在区间上变化的快慢.,函数的平均变化率有如下的表示：,f(x2)-f(x1),=y,x2-x1,=x,2.平均变化率的几何意义：,几何意义是曲线 上经过，两点的直线的斜率.,斜率的概念,思考1.表达式中f(x2)-f(x1)与x2-x1的顺序可以交换吗？它们本身前后两个式子可以交换吗？ 提示: f(x2)-f(x1)与x2-x1的顺序不可交换，但它们本身的式子可以同时交换，如也可以写为 思考2.函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率如何计算？ 提示:设x在x0附近的变化量为x，则平均变化率,提示：对于一般的
6、函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中，若设,x =x1-x0 y =f(x1)-f(x0),则函数的平均变化率是,思考：如何精确地刻画物体在某一瞬间的变化率呢？,探究点2 瞬时速度、瞬时变化率,则当x 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率.,（1）瞬时变化率的表示 对于函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中 自变量的改变量:x=_; 函数值的改变量:y=_; 平均变化率: =_; 在x0点的瞬时变化率：当x趋于_时，平均变化率趋于某一常数，此常数即为瞬时变化率. (2)瞬时变化率的意义 瞬时变化率刻画的是函数在_处变化的快慢.,x1-x0,f(x1)-f
7、(x0),0,一点,例1：一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为,其中，g为重力加速度,试估计小球在t=5s这个时刻的瞬时速度.,，,分析：当时间t从t0变到t1时，根据平均速度公式,可以求出从5 s到6 s这段时间内小球的平均速度,我们有时用它来近似表示t=5 s时的瞬时速度.为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出55.1 s这段时间内的平均速度,（m/s）.,（m/s）,用它来近似表示t=5s时的瞬时速度.,解：我们将时间间隔每次缩短为前面的,，计算出相,应的平均速度得到下表：,平均速度,可以看出，当时间t1趋于t0=5 s时，平均速度趋于
8、49 m/s，因此，可以认为小球在t0=5 s时的瞬时速度 为49 m/s.从上面的分析和计算可以看出，瞬时速 度为49 m/s的物理意义是，如果小球保持这一时刻 的速度进行运动的话，每秒将要运动49 m,【变式练习】,一辆汽车按规律s3t21做直线运动，求这辆汽车在t3 s时的瞬时速度(单位：m/s),解析：因为s3(3t)21(3321) 3t218t， 所以 因为当t趋于0时， 趋于18， 所以这辆汽车在t3 s时的瞬时速度的大小为18 m/s.,例2：如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒， 长为10m.x（单位：m）表示OX这段棒的长，y（单位： kg）表示OX这段棒的质量，它们满足以
9、下函数关 系： 估计该合金棒在x=2 m处的线密度.,分析：一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度，就是这段合金棒的平均线密度.,解：由,，我们可以计算出相应的平,均线密度得到下表：,平均线密度,可以看出，当x1趋于x0=2 m时，平均线密度趋于0.71 kg/m，因此，可以认为合金棒在x0=2 m处的线密度为0.71 kg/m.从上面的分析和计算可以看出，线密度为0.71 kg/m的物理意义是，如果有1 m长的这种线密度的合金棒，其质量将为0.71 kg.,【变式练习】,已知函数f(x)3x22,求这个函数在x2处的瞬时 变化率,解析：,因为当 趋于0时， 趋于12，,所以这个函数在x2处的瞬
10、时变化率是12.,1已知函数yf(x)x21，则在x2，x0.1 时，y的值为( ) A0.40 B0.41 C0.43 D0.44,B,3.如果质点A按规律,运动，则在,秒的瞬时速度为（ ） A6 B18 C54 D81,C,A,4.甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是,和,， 则在,秒时两个物体运动的瞬时速度关系是 （ ） A.甲大 B.乙大 C.相等 D.无法比较,B,5.自由落体运动的运动方程为s= gt2，计算t从3s到3.1 s这段时间内的平均速度（位移的单位为m）.,解析：设在3，3.1内的平均速度为v1，则,t1=3.1-3=0.1(s).,s1=s(3.1)-s(3)=0.5g3.12-0.5g32,=0.305g(m).,所以,1.平均变化率的定义:,2.平均变化率的几何意义是曲线 上经过， 两点的直线的斜率.,3.瞬时变化率的定义及求瞬时变化率的一般步骤：,如果在胜利前却步，往往只会拥抱失败；如果在困难时坚持，常常会获得新的成功。,
