1、人教版选修2-1,3.2.3 直线与平面的夹角,B,O,A,B,一、复习引入,O,A,B,二、新课探究,A,l,B,O,探究一 已知OA是平面的斜线段，O为斜足，线段AB于B，则直线OB是斜线OA在平面内的正射影，设OM是内通过O点的任意一条直线，OA与OB所成角为1(1 是锐角）,OB与OM所成角为2，OA与OM所成角为。那么，1，2 之间有怎样的关系？,由于 是单位向量，故有,因此,在直线OM上取单位向量 ，则 ，即 。,所以,二、新课探究,A,l,B,O,最小角定理：斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角。,斜线和它在平面内的射影所成的角是唯一的,二、
2、新课探究,概念：斜线与平面所成角定义,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角(斜线与平面的夹角)。,直线和平面所成角的范围是0，90。,范围（ 0，90 ）,线面角的实质：空间角平面角；线面角线线角,二、新课探究,探究二.求直线与平面所成角的基本方法,(1)几何（定义）法：,例题：,正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）求A1B与平面ABCD所成的角（2）求A1B与平面A1B1CD所成的角,思路：找出A1B在平面内的射影,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,M,所以A1M是A1B在平面 A1B1CD内的射影，,解：连接BC1，交B1C于M，连接A1M
3、。,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，各面均为正方形，设其棱长为,所以A1B与平面A1B1CD所成的角为30,BA1M为A1B与平面A1B1CD所成的角,在RtBA1M中，,二、新课探究,探究二.求直线与平面所成角的基本方法,变式：正方体ABCD-A1B1C1D1中，若，分别是11,11的中点，求A1B与平面BD所成的角？,A1B在平面BD内的射影不好找，怎么办？,二、新课探究,二、新课探究,(2)向量求法：,变式：正方体ABCD-A1B1C1D1中，若，分别是11,11的中点，求A1B与平面BD所成的角？,思路：利用法向量与直线方向量所成角。,A,B,C,D,D1,解：建立如图所示坐标系
4、，设正方形边长为1，则,令 则,A1(1,0,1),B(1,1,0),M(1/2,1,1),N(0,1/2,1),D(0,0,0),设平面A1B1CD的法向量为,设A1B与平面A1B1CD所成的角为。,故A1B与平面A1B1CD所成的角为45。,思 考,三、新知应用,例2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，求EB与底面ABCD所成的角正切值。,P,A,B,C,D,F,几何法,解：D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),底面ABCD的法向量为,EB与底面ABCD所成的角正切值为,X,Y,Z,向量法,三、新知应用,例2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，求EB与底面ABCD所成的角正切值。,五、课堂小结,知识：,能力：灵活处理，分析总结，合作交流,六、布置作业,必做作业：课本第108页，练习A，1，2，3 探究作业：,学习进步！,
