1、抛物线及其标准方程,魅力的美,青 春 抛 物 线,进入抛物线的内部世界,探究？,画图观察,再次观察,3.Swf2.swf,问题探究：,可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)我们把这样的一条曲线叫做抛物线.,观察发现,在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.,点F叫抛物线的焦点, 直线l 叫抛物线的准线,|MF|=d,d 为 M 到 l 的距离,准线,焦点,d,一、抛物线的定义:,二、标准方程的推导,如何建立坐标系呢？,思考：抛物线是轴对称图形吗？怎样建立坐标系
2、,才能使焦点坐标和准线方程更简捷?,1.建立坐标系,2.设动点坐标,相关点的坐标.,3.列方程,4.化简,整理,l,解：以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.,两边平方,整理得,M(x,y),F,依题意得,5.证明（略）,这就是所求的轨迹方程.,三、标准方程,把方程 y2 = 2px (p0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.,且 p的几何意义是: 焦 点 到 准 线 的 距 离,焦点坐标是,准线方程为:,一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四种形式.,抛物线的标准
3、方程的其他形式呢?,想一想？,抛物线的标准方程,其它形式的抛物线的焦点与准线呢？,四种抛物线的标准方程对比,第一:一次项的变量如为x(或y),则x轴(或y轴)为抛物线的对称轴,焦点就在对称轴上.,第二:一次项的系数的正负决定了开口方向.,例1(1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，求它的焦点坐标和准线方程;,(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程.,根据标准方程的知识,我们可以确定抛物线的焦点位置及准线方程.,解:(1)因为p=3，所以焦点坐标是 , 准线方程是,例2.求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程.,解:(1)当抛物线的焦点在 y 轴 的正半轴上时，把A(-3
4、,2)代入x2 =2py，得p=,(2)当焦点在 x 轴的负半轴上时， 把A(-3,2)代入y2 = -2px，得p=,抛物线的标准方程为x2 = y 或y2 = x 。,思考:M是抛物线y2 = 2px（p0）上一点，若点M 的横坐标为x0，则点M到焦点的距离是,这就是抛物线的焦半径公式!,1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：,（1）焦点是F（3，0）；,（2）准线方程 是x = ；,（3）焦点到准线的距离是2。,y2 =12x,y2 =x,y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y,四、课堂练习：,（5，0）,x= -5,（0，-2）,y=2,2、求下列抛物
5、线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20x （2）（3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0,1.抛物线的定义:抛物线的定义反映了抛物线的本质，灵活应用定义往往可以化繁为简、化难为易，且思路清晰，解法简捷，巧妙解法常常来源于对定义的恰当运用.,2.抛物线的标准方程有四种不同的形式:每一对焦点和准线对应一种形式.抓住标准方程的特点,注意与焦点位置,开口方向的对应关系;,3、注重数形结合和分类讨论的思想。,准线方程,焦点坐标,标准方程,焦点位置,图形,3. 不同位置的抛物线,x轴的 正方向,x轴的 负方向,y轴的 正方向,y轴的 负方向,y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py,F(-,-,-,-,小 诗 一 首,抛物线 两端长 遥遥长臂向远方,似彩虹 如桥梁 世间英雄竟畅想,神八飞 国兴旺 主宰世界非天王,看今朝 我辈忙 漫漫学路志昂扬,愿我们能共同欣赏到数学带来的美,同学们，再见！,
