1、第二章 解三角形,1 正弦定理与余弦定理,1.1 正弦定理,【做一做1】,知识拓展1.正弦定理的证明 除教材中的方法外,正弦定理的证明还有以下几种方法(均以锐角三角形为例): (1)作三角形边上的高,2.三角形常用面积公式 对于任意ABC,已知a,b,c,A,B,C,【做一做2】,3.解三角形 一般地,把三角形的三个角和它们的对边叫作三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形. 利用正弦定理可以解两类三角形: (1)已知三角形的任意两个角与一边,求其他两边和另一角; (2)已知三角形的两边与其中一边的对角,计算另一边的对角,进而计算出其他的边和角. 【做一做3】 在ABC中
2、,若a=4,A=45,B=60,则边b的值为( ),答案:A,【做一做4】 在ABC中,若a=15,b=10,A=60,则cos B=( ),答案:D,归纳总结在ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)在ABC中,若ab,则AB. ( ) (2)在ABC中,若ab,则sin Asin B. ( ) (3)在ABC中,满足 的三角形个数有且仅有一个. ( ) (4)在ABC中,若sin 2A=sin 2B,则ABC为等腰三角形. ( ) (5)在ABC中,若 ,则ABC为等腰三角形或直角三角形. ( ) 答案:
3、(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,【例1】 (1)在ABC中,若B=60,C=75,求ab. (2)在ABC中,若asin B=bcos A,求角A. 分析:(1)先求出A,再根据ab=sin Asin B求解;(2)将已知式中的边转化为角求解. 解:(1)因为B=60,C=75,所以A=180-60-75=45, 由正弦定理知,(2)因为asin B=bcos A, 所以2Rsin Asin B=2Rsin Bcos A, 所以sin A=cos A, 即A=45.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟1.正弦定理揭示了三角形中边
4、与角之间的关系,通过正弦定理及其变形,可以实现边与角的互化,从而解决一些三角形中的计算问题. 2.本例中要注意三角形内角和A+B+C=180的应用.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练1 (1)在ABC中,已知(b+c)(c+a)(a+b)=456,则sin Asin Bsin C= .,解析:(1)因为(b+c)(c+a)(a+b)=456, 令b+c=4x,c+a=5x,a+b=6x,答案:(1)753 (2)A,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,【例2】 在ABC中, (1)若A=45,B=30,a=2,求b,c与C. (2)若B=30,b=5, ,求A,C与a.
5、 分析:先根据三角形中解的个数的判断方法得出解的情况,再求出各元素的值. 解:(1)由三角形内角和定理得, C=180-(A+B)=180-(45+30)=105.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时,应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况.若有解,求出另一边的对角的正弦值,然后根据该正弦值求角,需对角的情况加以讨论是否有解,如果有解,那么是一解还是两解,若有解,由三角形的内角和定理求出第三个角,然后利用正弦定理求出第三边.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练2,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,分
6、析:根据正弦定理的变形,先将已知式中的边转化为角,再化简,进行判断. 解:由正弦定理,所以,tan A=tan B=1. 又因为角A,B,C是ABC的内角,所以A=B=45. 从而C=90,故ABC是等腰直角三角形.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟1.判断三角形的形状,是指根据条件,确定三角形中是否有两边(两角)相等、三边(三角)相等或是否有直角等,从而判断三角形是不是等腰三角形、等边三角形或直角三角形等. 2.利用正弦定理判断三角形形状的基本思路是:从条件出发,利用正弦定理进行代换、转化、化简、运算,找出边与边的关系,角与角的关系,或求出角的大小,从而作出正确判断.,探究
7、一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练3 在ABC中,若2a=b+c,sin2A=sin Bsin C,则ABC一定是( ) A.钝角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.非等腰三角形,答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,【例4】 在ABC中,已知A=45, (1)求sin C的值; (2)若BC=10,求ABC的面积. 分析:(1)已知B的余弦值,先由三角函数的基本关系求得正弦值,再由三角形内角和定理通过三角恒等变换求出sin C的值;(2)由(1)知sin C的值,利用正弦定理可求出AB,则面积易求得.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探
8、究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟三角形的面积公式 给出三角形的两边及其夹角可求三角形的面积,反过来,给出三角形的面积,利用上述公式也可求得相应的边或角,应熟练应用此公式. 三角形面积公式的选取取决于三角形中哪个角可求或三角形中哪个角的正弦值可求.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练4,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,纠错心得在判断符合已知条件的三角形的个数时,一定要结合三角形已知边和角的情况.在本例中,因为ca,sin C= ,所以符合条件的三角形内角C有两个,一个为锐角,一个为钝角,还要注意对解的情况进行检验并取舍.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练 根据正弦定理求解下列各题:,1,2,3,4,5,答案:C,1,2,3,4,5,2.下列对三角形解的情况的判断中,正确的是( ) A.a=4,b=5,A=30,有一解 B.a=5,b=4,A=60,有两解,答案:D,1,2,3,4,5,3.如图,在ABC中,已知BC=12,A=60,B=45,则AC= .,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,
