1、3.2 等比数列的前n项和,1.等比数列的前n项和公式 若数列an是公比为q的等比数列,则 当q=1时,Sn=na1;,【做一做1】已知等比数列an的首项为2,公比为-1,则数列an的前99项之和是 .,答案:2,2.等比数列前n项和的性质 (1)Sn+m=Sn+qnSm; (2)在等比数列中,若项数为2n(nN+),则 (3)当q=-1,且k为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,不是等比数列; 当q-1或k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,是等比数列.,【做一做2】,解析:根据等比数列的性质,S3,S6-S3,S9-S6仍然成等比数列.,答案:B,知识拓展等比数列前n项和
2、公式的推导 推导前n项和公式的方法,除了教材上提供的错位相减法,还有以下几种方法.当q=1时,数列an变为a1,a1,a1,a1,易得它的前n项和Sn=na1. (2)(拆项法):由Sn=a1+a2+a3+an=a1+q(a1+a2+a3+an-1)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an),得(1-q)Sn=a1-anq.结论同上. (3)(累加法):an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=a1+a1(q-1)+a2(q-1)+an-1(q-1)=a1+(a1+a2+an-1)(q-1)=a1+(Sn-an)(q-1),整理,得(1-q)Sn=a1-anq.结论同上.
3、,3.乘公比错位相减法求和 课本上推导等比数列前n项和的方法,即错位相减法,它解决的主要求和问题是:如果数列an和bn分别是等差和等比数列,求数列anbn的前n项和. 求和过程如下:设数列anbn的前n项和是Sn,等差数列an的公差是d,等比数列bn的公比是q,则有Sn=a1b1+a2b2+a3b3+anbn=a1b1+a2b1q+a3b1q2+anb1qn-1, qSn=a1b1q+a2b1q2+a3b1q3+anb1qn, Sn-qSn=a1b1+(a2-a1)b1q+(a3-a2)b1q2+(an-an-1)b1qn-1-anb1qn.,【做一做3】32-1+42-2+52-3+(n+2
4、)2-n= .,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)若数列an是等比数列,Sn是数列an的前n项和,则Sn,S2n-Sn, S3n-S2n一定成等比数列. ( ) (2)数列a,a2,a3,an,的前n项和为 . ( ) (3)若等比数列an的前n项和为Sn=3n+t,则t=-1. ( ) 答案:(1) (2) (3),探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例1】 (1)an为等比数列,若a1+a3=10,a4+a6= ,求a4和S5; (2)在等比数列an中,a1+an=66,a2an-1=128,其前n项和为Sn,Sn=126,求n和q.,探究一
5、,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.在等比数列的前n项和公式中,共有a1,an,q,n,Sn这五个量,已知其中任何三个量,都可以求其余两个量. 2.求解等比数列的计算问题,多采用基本量方法,即建立关于a1和q的方程(组),求得a1与q后再解决其他问题. 3.应用等比数列前n项和公式时,必须注意q=1与q1这两种情况. 4.在等比数列的前n项和Sn中,当n值较小时,可直接用a1+a2+an来表示Sn,如S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例2】 (1)等比数列an
6、共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q= ; (2)在等比数列an中,S2=7,S6=91,则S4= . 分析:(1)先分别求出奇数项的和与偶数项的和,再运用性质求解;(2)根据S2,S4-S2,S6-S4成等比数列求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)由等比数列前n项和性质,得 S2,S4-S2,S6-S4成等比数列, 有(S4-S2)2=S2(S6-S4), 即(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28(负值舍去). 答案:(1)2 (2)28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟应用等比数列前n项和的性质可以避免烦琐的计算,使解题过程简
7、化,常用的前n项和的性质是:(2)在等比数列an中,若Sm,S2m-Sm,S3m-S2m均不为0,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等比数列.运用此性质时,注意各项非零的要求及下标和差的构造.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2 已知等比数列前n项和为Sn,若S2=4,S4=16,则S8=( ) A.160 B.64 C.-64 D.-160 解析:由等比数列的性质可得S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6成等比数列, 又S2=4,S4=16,故S4-S2=12,所以公比为3, 由等比数列可得S6-S4=36,S8-S6=108, 解得S6=52,S8=160,故选A. 答案:
8、A,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例3】已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,nN+,数列bn满足an=4log2bn+3,nN+. (1)求an,bn; (2)求数列anbn的前n项和Tn.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:(1)由Sn=2n2+n,得当n=1时,a1=S1=3; 当n2时,an=Sn-Sn-1=4n-1, a1=3也符合上式, 所以an=4n-1,nN+. 由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n-1,nN+. (2)由(1)知anbn=(4n-1)2n-1,nN+, 所以Tn=3+72+1122+(4n-1)2n-1, 2Tn=32+72
9、2+(4n-5)2n-1+(4n-1)2n, 所以2Tn-Tn=(4n-1)2n-3+4(2+22+2n-1) =(4n-5)2n+5. 故Tn=(4n-5)2n+5,nN+.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列且公比为q,求数列anbn的前n项和时,可采用乘公比错位相减法. 2.乘公比错位相减法的步骤如下. (1)作和:Sn=a1b1+a2b2+anbn. (2)乘公比:qSn=a1b2+a2b3+anbn+1. (3)相减:(1-q)Sn=a1b1+(a2-a1)b2+(an-an-1)bn-anbn+1. (4)化简求得Sn. 3
10、.在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式,并且要注意两式相减时式子的第一项和最后一项以及符号、项数等.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3 求数列1,3a,5a2,7a3,(2n-1)an-1 (a0)的前n项和.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因忽视公式的应用条件而出错 典例在等比数列an中,若S3=3a3,求其公比q.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得由于等比数列中公比q不确定,因此需要对q进行分类讨论.本题的错误就在于直接应用了q1时的公式,虽然最后的结果是正确的,但解题过程错误.,探究一,探
11、究二,探究三,思维辨析,变式训练 等比数列an的前n项和为Sn,若5S1=S2+S3,且S4=10,则an= .,1,2,3,4,5,1.等比数列2,4,8,16,的前n项和为( ) A.2n+1-1 B.2n-2 C.2n D.2n+1-2 解析:由题意知,a1=2,q=2,则 答案:D,1,2,3,4,5,2.已知一个等比数列首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则这个数列的公比和项数分别为( ) A.8,2 B.2,4 C.4,10 D.2,8 解析: 2n=256=162=28, n=8. 答案:D,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,4.在等比数列an中,前n项和为Sn,已知S10=48,S20=60,则S30= . 解析:因为an是等比数列,所以S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,即48,12,S30-60满足122=48(S30-60),解得S30=63. 答案:63,1,2,3,4,5,5.已知等比数列an的前n项和为Sn=a2n+b,且a1=3. (1)求a,b的值及数列an的通项公式; (2)设 ,求数列bn的前n项和Tn. 解:(1)当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1a,而an为等比数列,所以an=2n-1a, 所以a1=21-1a=a=3,从而an=32n-1. 又因为a1=2a+b=3,所以b=-3.,
