1、专题三 利用导数研究函数的性质1 f(x)0 在 (a，b)上成立是 f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件2 f(x)在(a，b)上是增函数的充要条件是 f( x)0，且 f( x)0 在有限个点处取到3 对于可导函数 f(x)，f(x 0)0 并不是 f(x)在 xx 0 处有极值的充分条件对于可导函数 f(x)，xx 0 是 f(x)的极值点，必须具备f (x 0)0，在 x0 两侧，f(x)的符号为异号所以 f(x 0)0 只是 f(x)在 x0 处有极值的必要条件，但并不充分4 如果连续函数 f(x)在区间( a，b)内只有一个极值点，那么这个极值点就是最值点在解决实际问题中
2、经常用到这一结论1 已知函数 f(x) 在1 ，)上为减函数，则实数 a 的取值范围为_ln a ln xx答案 e ，)解析 f(x) ，因为 f(x)在1，)上为减函数，故1xx ln a ln xx2 1 ln a ln xx2f(x)0 在1，)上恒成立，即 ln a1ln x 在1，)上恒成立设 (x)1ln x，(x)max1，故 ln a1，ae.2 设函数 f(x)ax 33x 1 (xR )，若对于任意 x1,1，都有 f(x)0 成立，则实数 a的值为_答案 4解析 若 x0，则不论 a 取何值，f (x)0 显然成立；当 x0，即 x(0,1 时，f(x )ax 33x1
3、0 可化为 a .设 g(x) ，则 g(x)3x2 1x3 3x2 1x3 ，31 2xx4所以 g(x)在区间 上单调递增，在区 间 上单调递减，因此 g(x)maxg 4，从而(0，12 12，1 (12)a4.当 x0，1xf(x)在1，e 上是增函数，故 f(x)minf (1) .12题型一 利用导数求函数的单调区间例 1 已知函数 f(x)x 3ax 2xc ，且 af .(23)(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间；(3)设函数 g(x)( f(x)x 3)ex，若函数 g(x)在 x 3，2上单调递增，求实数 c 的取值范围解 (1)由 f(x) x3ax 2
4、x c ，得 f(x )3x 22ax 1.当 x 时，得 af 3 22a 1，23 (23) (23) (23)解之，得 a1.(2)由(1)可知 f(x)x 3x 2xc.则 f(x )3x 22x 13 (x1)，列表如下：(x 13)x ( ， )1313( ，1)131 (1，)f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以 f(x)的单调增区间是(， )和(1 ，) ；13f(x)的单调减区间是 .( 13，1)(3)函数 g(x)(f(x) x 3)ex(x 2xc)e x，有 g(x) (2x 1)e x(x 2xc)e x(x 23xc 1)e x，因为函数 g(x)在
5、x 3,2上单调递增，所以 h(x)x 23xc10 在 x3,2上恒成立只要 h(2)0，解得 c11，所以 c 的取值范围是11，)探究提高 利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数 f(x)；(3)若求单调区间(或证明单调性 )，只需在函数 f(x)的定义域内解 (或证明)不等式 f(x)0或 f(x )0；当 x(1,0) 时， f(x)0.故 f(x)在(，1)，(0，)上单调递增，在 (1,0) 上单调递减(2)f(x)x(e x1ax )，令 g(x)e x1ax， g( x)e xa.若 a1， 则当 x(0 ， ) 时，g(x)0，g( x)为
6、增函数，而 g(0)0，从而当 x0 时，g(x)0，即 f(x)0.若 a1，则当 x(0，ln a)时，g(x)0，即(x 22)e x0，因为 ex0，所以x 220，解得 0，所以x 2(a2)xa0 对 x(1,1) 都成立，即 a (x1) 对 x(1,1)都成立x2 2xx 1 x 12 1x 1 1x 1令 y(x1) ，则 y1 0.1x 1 1x 12所以 y(x1) 在(1,1)上单调递增，1x 1所以 y0 恒成立当 x0)2x 2ax2 1x当 a0 时，由 ax210 ，得 x .1a由 ax210 时，F(x) 的增区间为 ，(1a， )减区间为 .(0，1a)当
7、 a0 时，F(x )0)恒成立故当 a0 时，F(x )在(0，)上单调递减(2)原式等价于方程 a (x)在区间 ，e上有两个不等解2ln xx2 2(x) 在( ， )上为增函数，2x1 2ln xx4 2 e在( ，e)上为减函数，则 (x)max ( ) ，e e1e而 (e) 0，所以 f(x)在3,4 上为增函数12 分所以 x3 时，f( x)有极小值于是，当 x1,4时，f(x )minf(3)18，而 f(1)6，f(4)12，所以 f(x)maxf (1)6.14 分温馨提醒 (1)若函数 yf(x )在区间(a，b) 上单调递增，则 f( x)0，其逆命题不成立，因为
8、f(x) 0 包括 f(x )0 或 f( x)0.当 f( x)0 时函数 yf(x )在区间(a，b)上单调递增，当 f(x )0 时 f(x)在这个区间内为常函数；同理，若函数 yf(x) 在区间(a，b)上单调递减，则 f(x )0，其逆命题不成立(2)使 f(x)0 的离散的点不影响函数的单调性.方法与技巧1利用导数证明不等式，就是把不等式恒成立的问题，通过构造函数，转化为利用导数求函数最值的问题应用这种方法的 难点是如何根据不等式的 结构特点或者根据题目证明目标的要求，构造出相应的函数关系式2在讨论方程的根的个数、研究函数图象与 x 轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，
9、常常需要求出其中参数的取值范围， 这类问题的实质 就是函数的单调性与函数的极(最) 值的应用失误与防范1研究函数的有关性质，首先要求出函数的定义域2利用单调性求最值时不要忽 视 f(x) 0 的情况3“f(x 0)0”是“函数 f(x)在 x0 取到极值”的必要条件A 组 专项基础训练(时间：35 分钟， 满分：62 分)一、填空题(每小题 5 分，共 35 分)1 函数 f(x)x 22ln x 的单调减区间是_答案 (0,1)解析 f(x)2x (x0)，2x 2x 1x 1x当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数2函数 f(x)x 33x 24x a 的极值点的个数是_答案 0
10、解析 f(x) 3x 26x 43(x1) 210，则 f(x)在 R 上是增函数，故不存在极值点3 若函数 f(x)x 36bx 3 b 在(0,1)内有最小值，则实数 b 的取值范围是_答案 (0，12)解析 f(x) 在(0,1) 内有最小值，即 f(x)在(0,1)内有极小值，f(x)3x 26b，由题意，得函数 f(x)的草图如图，Error! 即Error!解得 00，函数 f(x)单调递增；当 x( 1,3)时，f(x )0，函数 f(x)单调递增所以函数 f(x)的极小值为 f(3)24，极大 值为 f(1) 8.而 f(2)1，f(5) 8，函数图象大致如图所示故要使方程 g
11、(x)f(x)m 在 x 2,5上有 3 个零点，只需函数 f(x)在2,5内的函数图象与直线 ym有 3 个交点，故Error!即 m1,8)5 (2012广东)曲线 yx 3x3 在点(1,3)处的切线方程为_答案 2xy10解析 y3x 21，曲线在点(1,3)处的切线斜率 k31 212.该切线方程为 y32( x1)，即 2xy 10.6 已知函数 f(x)mx 3nx 2 的图象在点(1,2)处的切线恰好与直线 3xy 0 平行，若 f(x)在区间t，t1上单调递减，则实数 t 的取值范围是_答案 2，1解析 由题意知，点(1,2)在函数 f(x)的图象上，故mn2.又 f(x )
12、3mx 22nx，则 f(1) 3，故 3m2n3.联立解得：m1，n3，即 f(x)x 33x 2，令 f(x )3x 26x 0，解得2x0，则t，t 1 2,0，故 t2 且 t10，所以 t2，17 函数 f(x)x( xm) 2 在 x 1 处取得极小值，则实数 m_.答案 1解析 f(x) x 32mx 2m 2x，f( x)3x 24mxm 2，由已知 f(1)0，即 34mm 20，解得 m1 或 m3.当 m1 时，f(x )3x 24x 1(3x1)(x1)，当 m3 时，f(x )3x 212x93(x1)(x3)，则 m3 应舍去二、解答题(共 27 分)8 (13 分
13、) 设函数 f(x)x 3 x26xa.92(1)对于任意实数 x，f(x )m 恒成立，求 m 的最大值；(2)若方程 f(x) 0 有且仅有一个实根，求 a 的取值范围解 (1)f(x) 3x29x63(x1)(x2)，因为 x(， )，f(x ) m，即 3x29x(6 m )0 恒成立，所以 8112(6 m)0，解得 m ，34即 m 的最大值为 .34(2)因为当 x0；当 12 时，f(x)0.所以当 x1 时，f( x)取极大值 f(1) a；52当 x2 时，f(x)取极小值，f(2)2a，故当 f(2)0 或 f(1) .529 (14 分)已知函数 f(x)x 3 ax2
14、b(a，b 为实数，且 a1)在区间 1,1上的最大值为321，最小值为2.(1)求 f(x)的解析式；(2)若函数 g(x)f( x)mx 在区间2,2 上为减函数，求实数 m 的取值范围解 (1)f(x) 3x23ax，令 f(x )0，得 x10，x 2a， a1，f(x)在1,0上为增函数，在0,1 上为减函数f(0)b1，f(1) a，f(1)2 a，f(1)2，则方程 x3ax 210 在(0,2)上恰好有_个根13答案 1解析 设 f(x) x3ax 21，则 f(x)x 22axx (x2a )，因为 a2，所以 2a4，所以13当 x(0,2)时，f(x)0)y2t .1t
15、2t2 1t 2t 22t 22t当 0 时，y0 ，可知 y 在此区间内单调递增22故当 t 时，| MN|有最小值224 关于 x 的方程 x33x 2a0 有三个不同的实数解，则实数 a 的取值范围是_答案 (4,0)解析 由题意知使函数 f(x)x 33x 2a 的极大值大于 0 且极小值小于 0 即可，又 f(x )3x 26x3x (x2)，令 f(x)0，得 x10， x22，当 x0；当 02 时，f(x)0，所以当 x0 时，f (x)取得极大值，即 f(x)极大值 f(0)a；当 x2 时，f(x)取得极小值，即 f(x)极小值 f (2)4a，所以Error! 解得40)
16、1aex(1)求 f(x)在0 ， )内的最小值；(2)设曲线 yf(x )在点(2，f(2)处的切线方程为 y x，求 a，b 的值32解 (1)f(x) aex ，1aex当 f(x )0，即 xln a 时，f(x)在( ln a， )上递增；当 f(x )0，f(x)在(0 ， ln a)上递减，在(ln a，)上递增，从而 f(x)在0 ， ) 上的最小值为 f(ln a)2b；当 a1 时，ln a0，f(x) 在0， )上递增，从而 f(x)在0，)上的最小值为 f(0)a b.1a(2)依题意 f(2)ae 2 ，1ae2 32解得 ae22 或 ae2 (舍去)，12所以 a ，代入原函数可得 2 b3，即 b ，2e2 12 12故 a ，b .2e2 128 (14 分)如图，已知曲线 C1：yx 3(x0)与曲线 C2： y2x 33x (x0)交于点 O、A，直线 xt (00，从而 f(t)在区间 上是增函数，33 (0，33)当 t1 时，f(t)0，从而 f(t)在区间 上是减函数33 ( 33，1)所以当 t 时，f(t)有最大值为 f . 33 ( 33) 33
