1、1第一套一、 （8 分）用列主元素消去法解下列方程组： 1223451x二、 （10 分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)=1,y(1)= 2, y(0)=1, (1)=4三、 （12 分）分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式并利用复化的梯形公式、复化的辛普生公式计算下列积分：91dxn=4四、 （10 分）证明对任意参数 t，下列龙格库塔方法是二阶的。五、 （14 分）用牛顿法构造求 c公式，并利用牛顿法求 15。保留有效数字五位。六、 （10 分）方程组 AX=B 其中 A= 01a试就 AX=B 建立雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，并讨论 a 取何值时迭
2、代收斂。七、 （10 分）试确定常数 A,B,C,a,使得数值积分公式 2 )(0)()( aCfBfaAfdxf有尽可能多的代数精确度。并求该公式的代数精确度。八、6 分证明： VA 其中 A 为矩阵，V 为向量.第二套一、 （8 分）用列主元素消去法解下列方程组： 321431x二、 （12 分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)= y(0)=0,y(1)= y(1)= 1,y(2)=1三、 （14 分）分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式,并利用132123)(,)(,)(hktytxfkhfynnn2复化的梯形公式、复化的辛普生公式及其下表计算下列积分：2
3、/0sinxdx 0 /12 2/123 /12 4/12 5 /12 /2sinx 0.00000 0.25882 0.50000 0.70711 0.86603 0.96593 1.00000四、 （12 分）证明下列龙格库塔方法是三阶的。五、 （10 分）试确定常数 A,B,C 使得数值积分公式20 )2(1)0()(CfBfAfdxf共 2 页 第 2 页有尽可能多的代数精确度。并求该公式的代数精确度。六、 （14 分）用牛顿法构造求 c1公式，验证其收敛性。并求 1/ e(保留 4 位有效数字)。七、10 分 证明：设非负函数 N(x)= 为 Rn 上任意向量范数，则 N(x)是 x
4、 分量 x1,x2,xn 的连续函数.参考答案一、解：（8 分）321431x增广矩阵： 1203/4/12/0/34/1/2143(4 分) 解得：x 1=2/3, x2=-1/3 x3=1./2 （8 分）二、解：（12 分）注：直接待定系数简单，或者用牛顿茶商设 P(x)=0(x)y(0)+ 1(x) y(1)+2(x)y(2)+0(x) y(0)+ 1(x) y(1) (4 分)解得： 1(x)=x2(x-2)2 2(x)=(1/12)x2(x-1)2 1(x)=-x2(x-1)(x-2) (4 分) P(x)= 1(x) y(1)+ 2(x)y(2)+ 1(x) y(1)= 1(x)
5、 + 2(x)+1(x)= x2(x-2)2+(1/12)x2(x-1)2 +x2(x-1)(x-2) (4 分) 3/,3/2)(,(43 12113hkyfkxfynnn3三、解：（14 分） 推证复化的梯形公式 (3 分) 推证复化的辛普生公式 (3 分)利用复化的梯形公式 2/0sinxd=0.96593利用复化的辛普生公式2/0i=1.000003四、 （12 分）证明：k3=f(xn,yn)+2h/3f(xn,yn)+(2h/3)2f(xn,yn)/2+0(h2) (4 分) yn+1=yn+h/4(3 k3+k1)= yn+ h f(xn,yn)+h2f(xn,yn)/2+h3/
6、6f(xn,yn) +0(h3) (8 分) yn+1*= yn+ h yn +h2yn/2+h3/6 yn +0(h3)yn+1 -yn+1*=0(h3)则该公式是三阶的 (12 分) 五、解：（10 分） 将 1，x,x 2 代入原式得 A+B+C=2 B+2C=2 B+4C=8/3解得：A=1/3， B=4/3 C =1/3 20 )(34)0(3)( fffdxf(8 分) 代数精确度为 2 (10 分)。 六、证明：（14 分）1/x-c=0 Xk+1=xk- )(xf=xk(2-cxk)Xk+1-1/c=-c(xk-1/c)2设 rk=1-cxk rk+1=rk2 反复递推 rk= 02k(8 分) 若选初值 00, （10 分）将1.25,1.375二分为1.25,1.3125,1.3125,1.375 f(1.3125) 0（12 分）1.3125,1.375的 中点为方程 f(x)=x3+4x2-10 的近似根（15 分）七、设 是 nR中的任意范数， nRA，则有 A)(证: 设 是的任意特征值，x 为相应的向量, （2 分）则 A, xx （8 分） )(（10 分）
