1、目 录内容摘要1关 键 词1Abstract1Key Words 11引言12不动点定义及定理介绍2 2.1 不动点相关定义22.2 不动点思想22.3 不动点相关定理63不动点思想在其他学科的应用83.1 在求数列通项公式中的应用83.2 在求方程解中的应用113.3 在求函数解析式中的应用124不动点定理在证明中的应用144.1 应用不动点定理证明数列极限14 4.2 应用不动点定理证明隐函数定理154.3 应用不动点定理证明微分方程解的存在性定理174.4 应用不动点定理证明积分方程解的存在性定理174.5 不动点定理在图论中的证明14参考文献 18致 谢19内容摘要：本文简要介绍了不动
2、点思想及相关定理，对 Banach 不动点定理做了一些简单的推论，应用不动点思想解决数列通项公式、方程的解、函数的解析式等问题。并对隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理做出了证明。关键词：不动点 不动点思想 不动点定理 应用Abstract：Key words：1引言泛函分析是本世纪出才逐渐形成的一个新的数学分支，以其高度的统一性和广泛的应用性，在现代数学领域占有重要的地位。在泛函分析中。许多分散在各个数学分支中的事实都得到了统一的处理，例如隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理，在泛函分析中都归结为一个定理不动点定理。这正是抽象的结果。不动点定理实际
3、上是算子方程 的求解问题，是分析学的各个分支中Tx=存在和唯一性定理的重要基础，它是关于具体问题解的存在唯一性的定理，其中 Banach 不动点定理，亦称压缩映射原理，它提供了线性方程解的最佳逼近程序，给出了近似解的构造，在常微分方程、积分方程等领域中也有着广泛的应用，在现代数学发展中有着重要的地位和作用。2不动点相关定义及定理介绍2.1 不动点相关定义定义 1 设 为非空集合， 是一个映射，如果 使得X:TXxX$成立，则称 为映射 的一个不动点。Tx=x特别地，函数 是定义在 上的函数，如果 使得 成()fDR xD()f=立，则称 为函数 的一个不动点。xx定义 2 设 是距离空间， 是
4、 到其自身的映射，且对于任意的,XrTX，不等式 都成立，其中 是满足 的常数。,xy()(,Txyxqq01=（2） 。()limxf解：设 是满足题设条件的函数，则首先证明：1 是 的一个不动点。 ，因为 ，令()fx0,ax“()0fx，于是 ，这表明任意正实数都在()00ayfx=()00fyf=的值域内。特别地，存在 使 。则 ，,1fy()()1fyfyf=因为 ，故 ，所以 ，即 1 是 的一个不动点。1f1y()fx其次证明：如果 是 的不动点，则 也是 的不动点。若,abx,abf是 的不动点，则有 。于是,ab()fx,ff=，即 ，所以 是 的不()111ffafaf=1
5、fa=a()fx动点。又由 ，即 也是 的不动点。()fbfbfbf最后证明： 有唯一的不动点 1。若 有不动点 ，则 也是x()fx1c的不动点，不妨设 ，由条件（1）显然 也为 的不动点，即)fxcncfx，于是 ，而由条件 2 可得 与(,nNfc“=limn=()lim0nnc=矛盾，故 有唯一的不动点。limlinn()fx根据条件（1） ， 有 ，即 为 的不动点，0“()xfxffx故只能有 ，所以 。()1xf=()1fx=4不动点定理在证明中的的应用4.1 应用不动点定理证明数列极限定理 例 5：对于数列 ，设 ， 。求证： 。nx01=+21nxlim2nx=证明：由 ，
6、。令 ，则01=+2nnx=(),1f。那么 一定存在极限，设其为 。那么()()2,1fx-n x，可得 ，故1+=2x=-或 舍 lim2nx=4.2 应用不动点定理证明隐函数定理（隐函数定理）若满足以下条件：（1）函数 在 为内点的某一区域F()0,Pxy上连续；()102,DxyrrR=-X“，使得 ，则 。:Tf(0,(xTfxfcxf“ Tf，由微分中值定理及 的连续性得：,fgX“ (),yFx()()0,maxUTTfgr=-()0, ,gxxcfxFx -() ()()0,a1Uf fgxq-+-0,1,yxcFxfxf=-() ()0 0, ,ma maU xUgx - (
7、)0,1yxcxf fgqr +-其中 ，又 在 处连续，所以取1q0；,yKy-那么存在唯一的连续函数 满足 且 。()xj=)(,dxFyj=)0xyj=证明：用 表示所有定义在 上取值于 的连续函数全0,XCUd0,UR体，其中 满足 。 ，用 表示d1KfgX“()()(0,maxfgfgxr-间的距离，同样由泛函分析的知识知 为完备度量空间。上述常微分方程,fg等价于等价于积分方程 ，定义映射()()0,xyftydt=+，由 的连续性知 ，0,xTfyFtfdt=+FTfX,fg“()()()0,maxUfgTfgxr -() ()0,xxFfxdtd=-()0,axxUKftgd
8、td-()(0,mxftgr=因为 ，故存在唯一的连续函数 ，使得1Kd()0,yxUjd=，显然 可微，所以 满()()0,xyftdtj j+j ()0,yxjd=足 且 ，然后在延拓到整个 上即得。,dFxj=0yj=R4.4 不动点理论在积分方程中的应用设 是定义在三角形区域 上的连续函数，则积分方程(),Kts ,atbst对任何 以及 存在唯一的解(),taxxdsftl=+,fC0l。0,Cb证明：作 到其自身的映射 ： ，则,aT()(),taxKsxdftl=+有12,xb“()212maxtTTr=-()()12,tabKsxsdl-()()12maxtbMtsl-,lr=
9、其中 。易用用归纳法证明（证明略）()max,tbsK()12 12,!nnnnMtaTtt xlr- 对任何给的的参数 ，总可以选取足够大的 使得 成立，因此l ()1!nnMtal-有不动点原理的推论知，方程 在 中(),taxKsxdftl=+,Cb存在唯一的解。0l4.5 不动点定理在图论中的证明把一张小比例尺的地图，放在一张同地区的大比例尺地图内，则有且仅有一个地名重合( 有一个坐标相同的点相重合)。证明: 把大地图中所有的地名( 包括未写出来的) 看作定理1中的 ( 距X离按通常定义)；把小地图所覆盖的区域看作大地图到自身的映象, 显然这是一个完备度量空间中的压缩映象问题, 故结论成立。参考文献：王声望、郑维行实变函数与泛函分析概要第二版高等教育出版1社2010陈传理、张同君竞赛数学教程第二版高等教育出版社20082
