1、15.立体几何1空间几何体表面积和体积的求法几何体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，求几何体的体积常用公式法、割补法、等积变换法问题 1 底面边长为 2，高为 1 的正三棱锥的表面积为_答案 3 3解析 由题意作出图形如图三棱锥 P ABC 是正三棱锥，顶点 P 在底面上的射影 D 是底面的中心，取 BC 的中点 F，连结 PF， DF， PD.在 PDF 中， PD1， DF ，33 PF ，1 13 233棱锥的侧面积 S 侧 3 2 2 ，12 233 32底面积为 ，表面积为 3 .3 32空间平行问题的转化关系平行问题的核心是线线平行，证明线线平行的常用
2、方法有：三角形的中位线、平行线分线段成比例(三角形相似)、平行四边形等问题 2 下列命题正确的是_(填序号)如果 a， b 是两条直线，且 a b，那么 a 平行于经过 b 的任何平面；如果直线 a 和平面 满足 a ，那么 a 与 内的任何直线平行；如果直线 a， b 和平面 满足 a ， b ，那么 a b；如果直线 a， b 和平面 满足 a b， a ， b ，那么 b .答案 3空间垂直问题的转化关系线 线 垂 直 线 面 垂 直 的 判 定 线 面 垂 直 的 定 义 线 面 垂 直 面 面 垂 直 的 判 定 面 面 垂 直 的 性 质 面 面 垂 直垂直问题的核心是线线垂直，证
3、明线线垂直的常用方法有：等腰三角形底边上的中线、勾股定理、平面几何方法等问题 3 已知两个平面垂直，下列命题：一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题的个数是_答案 1易错点 1 旋转体辨识不清3例 1 如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的体积易错分析 注意这里是旋转图中的阴影部分，不是旋转梯形 ABCD.在旋转的时候边界形成一个圆台，并在上面挖去了一个“半球” ，其体积应是圆台的
4、体积减去半球的体积解本题易出现的错误是误以为旋转的是梯形 ABCD，在计算时没有减掉半球的体积4解 由题图中数据及圆台和球的体积公式，得V 圆台 (2 2255 2)452(cm 3)，13V 半球 2 3 (cm 3)43 12 163所以旋转体的体积为V V 圆台 V 半球 52 (cm 3)163 1403易错点 2 线面关系把握不准例 2 设 a， b 为两条直线， ， 为两个平面，且 a ， a ，则下列结论中正确的个数为_若 b ， a b，则 a ；若 a ， ，则 a ；若 a b， b ，则 a .易错分析 本题易出现的问题就是对空间点、线、面的位置关系把握不准，考虑问题不全
5、面，不能准确把握题中的前提 a ， a ，对空间中的平行、垂直关系的判定和性质定理中的条件把握不准导致判断失误如中忽视已知条件中的 a ，误以为该项错误等解析 对于，若有 b ， a b，且已知 a ，所以根据线面平行的判定定理可得a ，故正确；对于，若 a ， ，则根据空间线面位置关系可知， a 或a ，而由已知可知 a ，所以 a ，故正确；对于，若 a b， b ，所以a 或 a ，而由已知可得 a ，所以 a ，故正确答案 3易错点 3 线面关系论证不严谨例 3 在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别为 DD1， DB 的中点(1)求证： EF平面 AB
6、C1D1；(2)求证： EF B1C.易错分析 利用空间线面关系的判定或性质定理证题时，推理论证一定要严格按照定理中的条件进行，否则出现证明过程不严谨的问题证明 (1)连结 BD1，如图所示5在 DD1B 中， E， F 分别为 DD1， DB 的中点，则Error!EF平面 ABC1D1.(2)ABCD A1B1C1D1为正方体 AB平面 BCC1B1Error!Error!Error!EF B1C.1已知 ， 为两个不同的平面， m， n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是_(填上所有正确命题的序号)若 ， m ，则 m ；若 m ， n ，则 m n；若 ， n， m n，则 m ；若
7、 n ， n ， m ，则 m .答案 解析 这是面面平行的性质，正确；只能确定 m， n 没有公共点，有可能异面，错误；当 m 时，才能保证 m ，错误；由 m ， n ，得 m n，又 n ，所以m ，正确2已知一个圆锥的底面积为 2，侧面积为 4，则该圆锥的体积为_答案 263解析 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则Error! 解得 r ， l2 ，2 2所以高 h ，l2 r2 66所以 V r2h 2 .13 13 6 2633(2018江苏扬州中学模拟)正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为 ， D 为 BC3中点，则三棱锥 A B1DC1的体积为_答案
8、1解析 11123ABDCABCBCVS 2 1.312 13 3 34.如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AB3 cm， AA11 cm，则三棱锥 D1 A1BD 的体积为_ cm 3.答案 32解析 因为在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AB3 cm， AA11 cm，所以三棱锥 D1 A1BD 的体积1113ABDVS A1D1D1DAB13 12 313 (cm3)16 325设一个正方体与底面边长为 2 ，侧棱长为 的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱3 10长为_答案 2解析 由题意可得正四棱锥的高为 2，体积为 (2 )228，所以正方体的体积为 8，所1
9、3 3以棱长为 2.6 ， 是两个平面， m， n 是两条直线，有下列三个命题：如果 m n， m ， n ，那么 ；如果 m ， n ，那么 m n；如果 m n， ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的序号)7答案 解析 当 m n， m ， n 时，两个平面的位置关系不确定，故错误，经判断知均正确，故正确答案为.7将半径为 5 的圆分割成面积之比为 123 的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为 r1， r2， r3，则 r1 r2 r3_.答案 5解析 由题意可得三个扇形的弧长分别为 ， ，5，分别等于三个圆锥底面圆的
10、周长，53 103则 r1 ， r2 ， r3 ，所以 r1 r2 r3 5.56 53 52 56 53 528.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 ABB1A1， CBB1C1都是矩形，AB BC2， BB14， ABC60， D 为 BC 的中点，则四面体 ADC1A1的体积为_答案 233解析 由侧面 ABB1A1， CBB1C1都是矩形，得 BB1 AB， BB1 BC，又 AB， BC 是底面 ABC 内的两条相交直线，所以 BB1平面 ABC，则三棱柱 ABC A1B1C1是直三棱柱，又 AB BC2， ABC60，则 ABC 是边长为 2 的等边三角形，则点 B 到平
11、面 AA1C1的距离等于正三角形 ABC 的高 ，3又 D 为 BC 的中点，所以点 D 到平面 AA1C1的距离为 ，32则四面体 ADC1A1的体积 1DAV 24 .13 12 32 2339.如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形， AC， BD 相交于点 O，点 E 为 PC8的中点， OP OC， PA PD.求证：(1)直线 PA平面 BDE；(2)平面 BDE平面 PCD.证明 (1)连结 OE，如图所示因为 O 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，所以 O 为 AC 的中点又 E 为 PC 的中点，所以 OE PA.因为 OE平面 BDE， PA平
12、面 BDE，所以直线 PA平面 BDE.(2)因为 OE PA， PA PD，所以 OE PD.因为 OP OC， E 为 PC 的中点，所以 OE PC.又 PD平面 PCD， PC平面 PCD， PC PD P，所以 OE平面 PCD.因为 OE平面 BDE，所以平面 BDE平面 PCD.10如图，在边长为 4 的菱形 ABCD 中， DAB60，点 E， F 分别是边 CD， CB 的中点，AC EF O，沿 EF 将 CEF 翻折到 PEF，连结 PA， PB， PD，得到如图的五棱锥 P ABFED，且 PB .10(1)求证： BD PA；(2)求四棱锥 P BFED 的体积(1)
13、证明 点 E， F 分别是边 CD， CB 的中点， BD EF.9菱形 ABCD 的对角线互相垂直， BD AC. EF AC， EF AO， EF PO. AO平面 POA， PO平面 POA， AO PO O， EF平面 POA， BD平面 POA，又 PA平面 POA， BD PA.(2)解 设 AO BD H，连结 BO. DAB60， ABD 为等边三角形， BD4， BH2， HA2 ，3HO PO ，3在 Rt BHO 中， BO ，BH2 HO2 7在 PBO 中， BO2 PO210 PB2， PO BO. PO EF， EF BO O， EF平面 BFED， BO平面 BFED， PO平面 BFED，梯形 BFED 的面积 S (EF BD)HO3 ，12 3四棱锥 P BFED 的体积V SPO 3 3.13 13 3 3
