1、类型五 与特殊四边形有关的问题1. (2017 重庆江北区一模 )如图，抛物线 y x2 x2 的图象与 x 轴交于65 455点 A、B ，与 y 轴交于点 C，连接 BC，过点 A 作 ADBC 交抛物线的对称轴于点 D.(1)求点 D 的坐标；(2)如图，点 P 是抛物线在第一象限内的一点，作 PQBC 于 Q，当 PQ 的长度最大时，在线段 BC 上找一点 M(不与点 B、点 C 重合)，使 PM BM 的值最23小，求点 M 的坐标及 PM BM 的最小值；23(3)抛物线的顶点为点 E，平移抛物线，使抛物线的顶点 E 在直线 AE 上移动，点 A、E 平移后的对应点分别为点 A、E
2、.在平面内有一动点 F，当以点A、E、B 、F 为顶点的四边形为菱形时，求出点 A的坐标第 1 题图2. 如图，抛物线 y x2 x 与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的33 3左侧)，交 y 轴于点 C.连接 AC，过点 A 作 AC 的垂线交抛物线的对称轴于点 D.(1)求点 D 的坐标；(2)点 P 为直线 AD 下方抛物线上一动点，当PAD 面积最大时，作 PEx 轴于点 E，连接 AP，点 M，N 分别为线段 AP，AE 上的两个动点，求 EMMN 的最小值；(3)如图，抛物线的顶点为点 Q，平移抛物线，使抛物线的顶点 Q 在直线 AQ上移动，点 A，Q 平移后的对应点
3、分别为点 A，Q.在平面内有一动点 G，当以点 A，Q ，B ，G 为顶点的四边形为平行四边形时，在直线 AQ 下方找一个满足条件的点 G，与在直线 AQ 上方所有满足条件的点 G 为顶点的多边形为轴对称图形时，求点 Q的坐标第 2 题图答案1. 解：(1)当 y0 时， x2 x20，65 455解得 x1 ，x 2 ，553即 A( ，0)，B( ，0)53 5当 x0 时， y2，即 C(0，2)，直线 BC 的解析式为 y x2，255直线 AD 的解析式为 y x ，255 23抛物线的对称轴为 x ，b2a 53当 x 时，y x ，53 255 23 43即 D 点坐标为( ，
4、)；53 43(2)如解图，作 PFy 轴交 BC 于点 F，则PQF BOC，第 1 题解图 ，PQPF BOBC 53即 PQ PF，53设 P(t， t2 t2)，F( t， t2) ，65 455 255PF t2 t，65 655当 t 时，PF 取最大值，PQ 取最大值，52此时 P( ， )，52 52作 MNx 轴于点 N，则BMNBCO， ，MNBM OCBC 23即 MN BM，23则当 P，M ， N 共线时，PN 有最小值，PM BMPN ，23 52此是 M( ，1) ；52(3)如解图，1)当 AEAB，AE BF 1，AEBF 1时四边形 AEF1B 是菱形，此时
5、A1( ， )， A 2( ， )；53 83 23563 8632)当 AEEB，AE BF 2，AEBF 2时四边形 AEF2B 是菱形，此时A3( ，0)，A 4( ， )；53 65563 176633)当 ABEB，AF 3BE，AF 3BE 时四边形 AF3EB 是菱形，此时A5( ， )22563 463综上所述，A的坐标分别为( ， )或( ， )或( ，0)或53 83 23563 863 53( ， )或( ， )65563 17663 22563 463第 1 题解图2. 解：(1)如解图，设对称轴交 AB 于点 H，对于抛物线y x2 x ，33 233 3令 x0 得
6、 y ，令 y0，得 x2 x 0，解得 x1 或 x3，333 233 3C(0， )，A( 1，0) ，B (3，0)，3OA 1，OC ，3tanOAC ，OCOA 3OAC60 ，AD AC，DAC90 ，DAH 30，抛物线的对称轴 x 1，b2aAH 2，DHAH tan30 ，233D(1， )；233第 2 题解图(2)如解图，延长 PE 交直线 AD 于点 K，点 A(1， 0)，D(1， )，233直线 AD 的解析式为 y x .33 33设点 K(x， x )，则点 P(x， x2 x )33 33 33 233 3PK x2 x .33 3 433S PAD S PK
7、AS PKD (xDx A)PK x2 x (x )212 33 3 433 33 32.25312当 x 时， PAD 的面积最大，此时点 P 的坐标为( ， )32 32 534PEx 轴于点 E，E( ，0)，32AE ，PE .52 534在 RtPAE 中，PA ，574如解图，作点 E 关于直线 AP 的对称点 E，过点 E作 ENx 轴于点 N，交AP 于点 M，第 2 题解图连接 EM，此时 EMMN 的值最小，EMMNE MMNE N.EE ，由E NEAEP 可知，5217 ，EEAP E NAEEN .1037EMMN 的最小值为 .1037(3)如解图，点 A(1， 0
8、)，Q(1， )，433直线 AQ 的解析式为 y x .233 233设点 Q(x， x )，则点 A(x2， x )233 233 233 233若以点 A，Q，B ，G 为顶点的平行四边形以 AQ为边时，AQ BG 1且 AQBG 1，xG 1x Bx A x Q x Ax Q2.yG 1y By A y Q y Ay Q .433又点 B(3， 0)，点 G1(1， )433同理得点 G2(5， )433在直线 AQ 上方满足条件的点 G 有两个，分别为 G1(1， )，G 2(5， )433 433若以点 A，Q，B ，G 为顶点的平行四边形以 AQ为对角线时，线段 AQ中点的坐标点
9、 F(x1， x)，此时点 F 也为 BG3中点，233又B(3，0)，G 3(2x5， x)433由题意得，以满足条件的点 G 为顶点的多边形为三角形，G 1G2G3为轴对称图形，G 1G2G3为等腰三角形G 1G22 ，1123G2G32 x2 x ，283 1523 3163G1G32 x2 x ，283 403 1243若 G3G1G 3G2，则有 x2 x x2 x ，283 403 1243 283 1523 3163x ， Q( ， )127 127 38321若 G1G2G 1G3，则有 x2 x ，283 403 1243 1123x 11，x 2 ，37Q(1 ， )或( ， )433 37 20321若 G2G1G 2G3，则有 x2 x ，283 1523 3163 1123x 1 ，x 23，177Q( ， )或(3 ， )177 1637 833综上所述，点 Q的坐标为( ， )或(1， )或( ， )或( ，127 38321 433 37 20321 177)或(3 ， )1637 833第 2 题解图
