1、2.4.1 抛物线及其标准方程,1、理解并掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程; 2、能根据条件利用待定系数法求抛物线的标准方程 3、根据抛物线的标准方程能写出它的焦点坐标及准线方程。,学习目标:,喷泉,拱桥,球在空中运动的轨迹是抛物线。抛物线到底是满足什么条件的动点的轨迹呢？抛物线方程又有什么样的形式呢？,平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 （定点F不在定直线l 上） 点F叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线。,（一）抛物线的定义,问题5：定义中当直线l 经过定点F，则点M的轨迹是什么？,一条经过点F且垂直于l 的直线,如何建立直角坐标系？,想一想,探究
2、抛物线的标准方程,解法一：以 为 轴，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示）,取定点F到定直线L的距离为p,则定点 设动点 ，由抛物线定义得：,化简得：,不够简捷,解法二：以定点 为原点，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示），则定点 ， 的方程为,设动点 ，由抛物线定义得,化简得：,还是不够简捷,l,解法三：以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.,两边平方,整理得,M(x,y),F,依题意得,这就是抛物线的标准方程.,比较理想,（二）标准方程,把方程 y2 = 2px (p0)叫做抛物线的标准方程.其中 p
3、 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.,p的几何意义是:,焦点坐标是,准线方程为:,焦点到准线的距离,想一想: 抛物线的位置及其方程还有没有其它的形式？,问题：你能建立适当的坐标系，求下列后三幅图中抛物线的方程吗?,抛物线标准方程的四种形式,y22px(p0),y22px(p0),x22py(p0),x22py(p0),四种方程形式相同点：,四种方程形式的不同点： （1）变量x(y)的幂次谁是一次，则焦点在谁上; （2）一次项系数为正（负），则开口向坐标轴的正（负）方向.,即抛物线焦点位置及开口方向的判断方法：,“焦点位置看幂次，开口方向看正负”,（1）顶点为原点; （2）对称轴为坐标轴;
4、（3）顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离， 均为p/2.,1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：,（1）焦点是F（3，0）；,（2）准线方程 是x = ；,（3）焦点到准线的距离是2。,y2 =12x,y2 =x,y2 =4x y2 = -4x x2 =4y x2 = -4y,2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2 = 20x (2)x2= y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0,当堂训练：,例1：,（1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ， 求它的焦点坐标及准线方程,解：由方程知：p=3,焦点坐标是,准线方程是,典例分析 ：,解: 因为焦点在y的负半
5、轴上, 所以设所求的标准方程为x2= -2py由题意得 ， 即p=4 所求的标准方程为x2= - 8y,（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，2）， 求抛物线的标准方程？,变式一：,1、求过点A(2，3) 的抛物线的标准方程.,思路探索 求抛物线方程要先确定其类型，并设出标准方程，再根据已知求出系数p.若类型不能确定，应分类讨论,法二：由题意，抛物线方程可设为y2mx(m0)或x2ny(n0)，将点A(2，3)的坐标代入，得32m2 或 22n3，,达标检测：,（四）课堂小结,平面内与一个定点F的距离和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。,一个定义：,两类问题：,三项注意：,四种形式：,求抛物线标准方程； 已知方程求焦点坐标和准线方程。,定义的前提条件：直线l 不经过点F;p的几何意义：焦点到准线的距离； 标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线。,抛物线的标准方程有四种： y2=2px(p0)y2= -2px(p0)x2=2py(p0)x2= -2py(p0),谢谢指导,
