1、第七章 数学形态学在图像处理中的应用,一、数学形态学概述 二、数学形态学基本算法 三、二值图像的形态学处理 四、灰值形态学,1、起源：数学形态学（Mathematics Morphology）形成于1964年，法国巴黎矿业学院马瑟荣（G. Matheron）和其学生赛拉（J. Serra）从事铁矿核的定量岩石学分析，提出了该理论。,一、数学形态学概述,2、发展：数学形态学是一门建立在严格数学理论基础上的学科，其基本思想和方法对图像处理的理论和技术产生了重大的影响。目前，形态学图像处理已成为数字图像处理的一个主要研究领域。在文字识别、显微图像分析、医学图像、工业检测、机器人视觉都有很成功的应用。
2、,一、数学形态学概述,3、定义：数学形态学（Mathematical Morphology）是分析几何形状和结构的数学方法，它建立在集合代数的基础上，是用集合论方法定量描述目标几何结构的学科。这种结构表示的可以是分析对象的宏观性质，例如，在分析一个工具或印刷字符的形状时，研究的就是其宏观结构；也可以是微观性质，例如，在分析颗粒分布或由小的基元产生的纹理时，研究的便是微观结构。,一、数学形态学概述,4、形态学研究几何结构的基本思想：利用一个结构元素（相当于模板）去探测一个图像，看是否能将这个结构元素很好地填放在图像的内部，同时验证填放结构元素的方法是否有效。,通过对图像内适合放入结构元素的位置做
3、标记，就可得到关于图像结构的信息。这些信息与结构元素的尺寸和形状都有关。构造不同的结构元素，便可完成不同的图像分析，得到不同的分析结果。,一、数学形态学概述,1、基本概念,a) B 包含于A, b) B 击中（hit）A, c) B 击不中(miss)A，,集合关系：设 A 和 B 为R2的子集，A 为物体区域，B为某种结构元素，则 B 结构单元对 A 的关系有三类：,二、数学形态学基本算法,平移：将一个集合A平移距离x可以表示为A+x，其定义为：,1、基本概念,二、数学形态学基本算法,1、基本概念,对称集：设有一幅图像A，将A中所有元素相对原点转180o，即令(x，y)变成(-x，-y)，所
4、得到的新集合称为A的对称集，记为-A.,图4 相对原点转180o,二、数学形态学基本算法,2、腐蚀与膨胀 腐蚀：集合 A 被集合 B 腐蚀,表示为 ,数学形式为,二、数学形态学基本算法,一般,如果原点在结构元素内部,则腐蚀后的图像为输入图像的子集;如果原点不在结构元素的内部,则腐蚀后的图像可能不在输入图像的内部，但输出形状不变.,二、数学形态学基本算法,2、腐蚀与膨胀 腐蚀,例 数字图像S和结构元素E，求腐蚀结果如下：,2、腐蚀与膨胀 膨胀: 是腐蚀运算的对偶运算，可以通过对补集的腐蚀来定义。A 被 B 膨胀表示为 , 其定义为：,二、数学形态学基本算法,2、腐蚀与膨胀 膨胀:,二、数学形态学
5、基本算法,膨胀的等效方程：膨胀可以通过相对结构元素的所有点平移输入图像，然后计算其并集得到。,用膨胀的等效方程计算膨胀结果,二、数学形态学基本算法,3、开、闭运算 开运算：利用图像 B 对图像 A 做开运算，用符号 表示，其定义为：,图10 开运算,例：,二、数学形态学基本算法,3、开、闭运算 闭运算：是开运算的对偶运算,定义为先作膨胀然后再作腐蚀. 利用 B 对 A 作闭运算表示为 ,其定义为:,图3.2 闭运算,闭运算实例,二、数学形态学基本算法,3、开、闭运算 开、闭运算的滤波性质：开运算可以滤掉背景（并）噪声胡椒状噪声闭运算可以滤掉前景（差）噪声沙眼噪声,二、数学形态学基本算法,4、击
6、中击不中变换 定义：击中击不中变换需要两个结构基元E和F，这两个基元被作为一个结构元素对B=(E, F)，一个探测图像内部，一个探测图像外部，其定义为：,显然,二、数学形态学基本算法,4、击中击不中变换 利用击中击不中变换进行物体识别,利用与目标相同的结构元素做腐蚀,二、数学形态学基本算法,4、击中击不中变换 利用击中击不中变换进行物体识别,二、数学形态学基本算法,4、击中击不中变换 利用击中击不中变换细化,利用一个结构对的顺序细化,S1,在实际应用中，通常选择一组结构元素对，迭待过程不断在这些结构对中循环，当一个完整的循环结束时，如果所得结果不再变化，则终止迭待过程。例如，下面是用于细化的8
7、个方向结构对,细化中结构元素对的选取,三、二值图像的形态学处理,1、基本概念 强邻接象素：两个象素在竖直方向或水平方向上相邻。 弱邻接象素：两个象素在对角方向上相邻,相对原点的各种邻接象素模板,(a) 强邻接象素模板 (b)弱邻接象素模板 (c)邻接象素模板,三、二值图像的形态学处理,1、基本概念 强连通：假设x和y为区域中的任意两个象素，在x和y之间存在一个象素序列，若这个象素也在这个区域中，并且序列中的象素之间为强邻接的，则这个区域是强连通的。 连通：序列中所有的象素之间都具有邻接关系。 非连通：任意两个象素之间不存在邻接的象素序列,三、二值图像的形态学处理,2、边界检测,对于图像A和圆盘
8、B， 给出外边界 给出内边界 给出跨骑在实际欧氏边界上的边界，又称形态学梯度。,A B,例，用原点邻接象素模板得到强连通边界。,例，用原点强邻接象素模板得到弱连通边界。,3、条件膨胀 定义：假设有输入图像A, 结构元素B，集合C，则利用B相对C对A作条件膨胀，可以通过将平移限制在C之内得到，其结果为：,三、二值图像的形态学处理,3、条件膨胀 应用连通成分重建：利用给定的标记进行膨胀，找出二值图像中含有某种标记的连通成分，这个标记可以是一个象素，也可以是一个连通子区域。,三、二值图像的形态学处理,第一步,把整个原始图像数据作为条件C，抽取连通成分。,第二步,第三步,第四步,注：结构元素的选择很重
9、要。,例：填充一个用曲线围成的区域,结构元素,输入图像,第一步,第二步,第三步,第四步,第五步,4、骨架化 基本概念： 最大圆盘：对于一个目标S，S内的最大圆盘不是其他任何完全属于S的圆盘子集，并且至少有两点与目标边界轮廓相切。,三、二值图像的形态学处理,4、骨架化 基本概念： 骨架：所有最大圆盘的圆心构成了图像的骨架。,三、二值图像的形态学处理,4、骨架化 数字情况下圆盘的选择：令B为一种结构元素，最大圆盘可表示为0B，1B，nB。其中,三、二值图像的形态学处理,用邻接象素模板作结构元素时的数字圆盘,0B,1B,2B,3B,n=0 n=1 n=2,输入图像,最终骨架,n=0 n=1 n=2,
10、利用骨架子集进行数据重建的过程,4、骨架化 数字骨架的应用：数据压缩（有损或无损） 、字符识别,三、二值图像的形态学处理,5、流域分割方法 问题：分割下面两个互相重叠的球状物体,三、二值图像的形态学处理,5、流域分割方法 基本概念,三、二值图像的形态学处理,极限腐蚀：对于给定图象A，用结构元素B对其不断进行腐蚀，在腐蚀过程中，不连通的区域不断产生，某些区域又不断消失，一个连通成分在消失前的最后一步，称为最终连通成分。所有最终连通成分的并就是相对B的极限腐蚀，用 来表示。,5、流域分割方法 基本概念,三、二值图像的形态学处理,距离函数：对于A内给定一点x，距离函数dist(x)为从x到A的补集的
11、距离。,输入图象,距离函数图,5、流域分割方法 流域分割原理,三、二值图像的形态学处理,距离函数反相图- dist(x),相对通过圆盘水平线做出的 -dist(x)图形,5、流域分割方法 流域分割原理,三、二值图像的形态学处理,地形浸没过程说明,5、流域分割方法 实现,三、二值图像的形态学处理,a) 对图像做极限腐蚀，生成距离函数反相图 - dist(x) ，记下极限腐蚀位置 b) 水从最深处开始上涨，给每个新出现的积水盆一个新的标记，水面上涨过程中不同积水盆相接时，筑起一道坝最终的坝就是分割线,6、颗粒分析离散粒度分布局部颗粒分析,三、二值图像的形态学处理,g在f的下方：对于定义域内任意一点
12、x，都有 ，则称g在f的下方，记为 。 利用结构元素g对信号f的腐蚀定义为：,四、灰值形态学,1、灰值腐蚀,四、灰值形态学,1、灰值腐蚀,腐蚀的等价定义：,推导：假设在点x处，f被g腐蚀的值为y，则,例1,例2：,四、灰值形态学,2、灰值膨胀,定义：f被g膨胀可逐点地定义为：,等价定义为：,四、灰值形态学,2、灰值膨胀,计算过程： 1）对结构元素g的定义域Dg中的每一点x将信号f平移x； 2）再对平移信号的值加上g(x)； 3）对所有这些信号逐点取最大值。,例1：,注：定义域扩展了,例2：,四、灰值形态学,3、灰值开、闭运算, 灰值开运算, 灰值闭运算,四、灰值形态学,3、灰值开、闭运算, 开
13、、闭运算的滤波性质,四、灰值形态学,4、灰值形态学算法, 灰值形态学梯度,扁平结构元素定义域上取常数的结构元素,四、灰值形态学,4、灰值形态学算法, Top-Hat变换,有检测波峰的作用，对在较亮的背景中求暗的象素聚集体(颗粒)，或在较暗的背景中求亮的象素聚集体非常有效。,输入信号,腐蚀,开运算,Top-Hat变换,四、灰值形态学,4、灰值形态学算法, Top-Hat变换,Top-Hat的对偶算子波谷检测器,四、灰值形态学,4、灰值形态学算法,流域分割（watershed变换）,地形浸没过程说明,原理：模仿地形浸没的过程,四、灰值形态学,4、灰值形态学算法,流域分割（watershed变换）,四、灰值形态学,4、灰值形态学算法,基于标记的流域分割（watershed变换）,流域分割（watershed变换）,关键技术1：梯度算子的选择,流域分割（watershed变换）,关键技术2：种子点的选取,流域分割（watershed变换）,关键技术2：种子点的选取,改进利用直方图的势函数特性选择种子点,流域分割（watershed变换）,作业：1、二值图像开运算2、灰值形态学梯度,
