1、1,一、自由质点动力学方程及解,4-3 质点动力学（微分）方程组,主动力:可表示为 的已知矢量函数的力.诸如万有引力、重力、弹簧弹性力、流体阻力等。 自由质点：只受主动力的质点称为自由质点。,2,例1 设空气对抛体的阻力与抛体的速度成正比，即 ， 为比例系数 . 抛体的质量为 、初速为 、抛射角为 . 求抛体运动 的轨迹方程 .,解 取如图所示的 平面坐标系,3,4,5,二、非自由质点动力学方程组及解,质点运动微分方程,动力学方程组,约束方程,6,例题2 如图所示单摆:摆长l,一端悬于固定点o,一端与摆锤相连;摆锤质量为m，可视为质点;系统在过o点的竖直平面内运动.试求单摆在小摆角情况下的运动
2、学方程和摆线内的张力.,7,整理得,8,单摆,令,时,解:,9,整理得质点运动学方程,10,隔离体法解题包含的一些环节： 1、准备工作：选择惯性参考系，选定隔离体作为研究对象。 2、受力分析：周围环境对隔离体运动的影响是通过力来实现的。 （1）分析力要全面，不应有遗漏。 （2）不主观臆断力的大小和方向。 3、分析运动状况和建立坐标系：主要分析加速度。 4、建立方程和求解： 建立矢量方程并向选定的坐标系投影。 5、对计算结果进行必要的讨论。 例如解的物理意义，解的适用范围等。,11,4-4 质点的动量定理和动量守恒定律,12,牛顿第二定律表述为：,式中F为质点所受合力，由于质量m为常量，所以有,
3、此即为质点的动量定理。定义质点的动量：,动量是矢量，方向与质点的速度同向。,定义Fdt为dt时间内力F对质点的元冲量，用dI表示，即,一、质点的动量定理,13,动量定理可表述为为：,质点的动量定理指出：质点动量的 时间变化率等于其所受合力。 或质点动量的微分等于质点所受合 力在dt时间内对质点的元冲量。,即合力对质点的元冲量等于各分力对质点元冲量的矢量和。,根据矢量数乘性质可知,14,若在某一过程中，质点所受合力恒为零，即F=0,则在该过程中质点的动量守恒，即P=C（常矢量）。,二、质点的动量守恒定律,质点动量沿 方向的分量守恒,15,对动量定理表达式两边同乘 dt，积分：,右边称合力的冲量，
4、表示为：,于是有：,质点动量定理：质点所受的外力冲量，等于质点动量的增量。,三、质点动量定理的积分形式,16,动量定理的分量式：,17,力的冲量是力对时间的积累效应。这种定义仅限于力为恒力的情况。,若F=常矢量,矢量函数F(t)的定积分可利用F在直角坐标系中的正交分解式完成。,若F是变力该如何处理呢？,四、变力的冲量 元过程法,18,若已知力与时间的函数关系，可通过积分求出时间 内的冲量，进而求出该时间间隔内质点的动量的变化。我们引入平均力,力随时间变化较快时，用一平均力代替变力：,可算出平均力：,五、平均力,19,例题1 质量m=2kg的质点,t=1s时 所受合力 求t=2s时质点速度.,解
5、：,20,由动量定理,求得,21,例题2 如图所示（圆锥摆），长为 的细绳一端固定在天花板上，另一端悬挂质量为 的小球，小球经推动后，在水平面内绕通过圆心 的铅直轴作角速度为 的匀速率圆周运动 . 绳和铅直方向所成的角度 为 ,求摆锤m在水平面内转过半个圆周的过程中重力、绳拉力及向心力的冲量及绳的平均拉力.,解,22,23,24,例题3一小球在弹簧的作用下振动（如图所示），弹力F=-kx，而位移x=Acost，其中k、A、都是常量。求在t=0到t=/2的时间间隔内弹力施于小球的冲量。,解：,完,25,解：,人到达地面时的速度大小为：,例4：质量为 60kg 的撑杆跳运动员，从 5 米的横杆跃过自由下落，运动员与地面的作用时间分别为 1 秒和 0.1 秒，求地面对运动员的平均冲击力。,碰撞过程，如图分析，再据动量定理：,
