1、一般形式的柯西不等式,1.二维形式的柯西不等式,(ac+bd)2,ad=bc,是零向量,存在实数k,使 =,k,P1(x1,y1),P2(x2,y2),O(0,0)三点共线，且,P1，P2在原点O两旁,2.三维形式的柯西不等式 设a1,a2,a3,b1,b2,b3R,则(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)_.当且仅当_或_时, 等号成立.,(a1b1+a2b2+a3b3)2,b1=b2=b3=0,存在一个数k,使得a1=kb1,a2=kb2,a3=kb3,3.一般形式的柯西不等式 设a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是实数,则 (a12+a22+a32+an2)(b
2、12+b22+b32+bn2) _,当且仅当_ _或_ 时,等号成立.,(a1b1+a2b2+a3b3+anbn)2,bi=0(i=1,2,3,n),存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3,n),判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可 以是 ( ) (2)在三维形式的柯西不等式中等号成立的条件是 ( ) (3)设 是两个向量，则 中等号成立 的条件是存在实数k，使 ( ),【解析】(1)错误.当b，d=0时，柯西不等式成立，但不成立. (2)错误.当b1,b2,b3都为零时, 不成立，但此时 柯西不等式成立. (3)错
3、误.当 =0时， 答案：(1) (2) (3),考向 1 二维柯西不等式代数形式的应用 【典例1】设a,bR+且a+b=2.求证： 【思路点拨】观察不等式的结构特点，本题可以看作求的最小值，因而需出现柯西不等式的结构， 把 视为其中一个括号内的部分，另一部分可 以是(2-a)+(2-b).,【规范解答】根据柯西不等式， 有(2-a)+(2-b)=(a+b)2=4,当且仅当 即a=b=1时等号成立， 原不等式成立.,【拓展提升】正确理解二维柯西不等式 (1)可以理解为四个有顺序的数对应的一种不等关系，或构造成一个不等式，如基本不等式是由两个数来构造的，但怎样构造要仔细体会.(a2+b2)(c2+
4、d2)(ac+bd)2,(a2+b2)(d2+c2) (ad+bc)2,谁与谁组合、联系，要有一定的认识.,(2)“二维”是由向量的个数来说的，在平面上一个向量有两个量：横、纵坐标，因此“二维”就要有四个量，还可以认为是四个数组合成的一种不等关系. (3)根据题设条件，综合利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口.,【变式训练】已知a1,a2,b1,b2为正实数，求证(a1b1+a2b2) (a1+a2)2. 【证明】对比柯西不等式的原型，两组数可取为：则(a1b1+a2b2),=(a1+a2)2. 当且仅当 即b1=b2时等号成立.,考向 2 利用
5、柯西不等式求最值 【典例2】(2013哈尔滨模拟)已知a,b,c(0,+), =2,求a+2b+3c的最小值. 【思路点拨】分析待求式子的结构特征，结合已知条件构造两组数，利用柯西不等式求解.,【规范解答】=(1+2+3)2=36.又 a+2b+3c18. 当且仅当a=b=c=3时等号成立.,【互动探究】本例条件不变，试求4a+8b+27c的最小值. 【解析】 =(2+4+9)2=225, 又 4a+8b+27c,当且仅当 即2a=2b=3c= 时取等号. 即4a+8b+27c的最小值为,【拓展提升】三维柯西不等式的应用 由a,b,c构成新的数字形式，而形成三维的柯西不等式，需要有较高的观察能力，从所给的数学式的结构中看出，常用的技巧有以下几种： (1)构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数. (2)构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排各项的次序. (3)构造符合柯西不等式的形式及条件可以改变式子的结构. (4)构造符合柯西不等式的形式及条件可以添项.,【变式备选】(2013扬州模拟)设2x+3y+5z=29.求函数 的最大值. 【解析】 (2x+1)+(3y+4)+(5z+6)(1+1+1) =3(2x+3y+5z+11) =340=120. 故 当且仅当2x+1=3y+4=5z+6, 即 时等号成立，此时,
