1、高中数学课件,必修一,第二章：基本初等函数,第三章：函数的应用,第一章：集合与函数,第一章：集合与函数,第一节：集合,一 集合的含义与表示,集合的定义,我们把研究的对象称为元素，而某些拥有共同特征的元素所组成的总体叫做集合,集合有三个特征：确定性、互异性和无序性。就是根据这三个特征来判断是否为一个集合,集合的表示,列举法：将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法,1. 元素间要用逗号隔开； 2. 不管次序放在大括号内.,描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法. 其一般形式为：,1. 中间的“|”不能缺失； 2. 不要忘记标明xR或者kZ, x | p(x) ,若一
2、个元素m在集合A中，则说 mA，读作“元素m属于集合A”否则，称为mA,读作“元素m不属于集合A。,元素与集合的关系,属于或不属于,常见数集,N：自然数集（含0）即非负整数集 N+：正整数集（不含0) Z: 整数集 Q：有理数集 R： 实数集,集合的分类,有限集：含有有限个元素的集合称为有限集特别，不含任何元素的集合称为空集,记为 ，注意：不能表示为.,无限集：若一个集合不是有限集，则该集合称为无限集,课堂训练,1. 直线y=x上的点集如何表示？,2. 方程组 的解集如何表示？,3. 若1,a和a,a2表示同一个集合，则a的值为 .,4. 集合A=1,0,x, 且x2A, 则x .,-1,-1
3、,读作：A包含于B，或者B包含A. 可以联系数与数之间的“”,二 集合间基本关系,子集和真子集,一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.,记作：AB或BA,规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.,如果AB，但是AB，则称A是B的真子集.,记作：AB或BA,可以联系数与数之间的“”,任何一个集合是它本身的子集，AA,若AB，BC，则AC，对于也适用.,补集和全集,设AS，由S中不属于集合A的所有元素组成的集合称为S中子集A的补集，记作CSA ，即CSA x|xS, 且xA,阴影部分即CSA,如
4、果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时集合S看作一个全集，通常记作U.,典例精析,例1. 不等式组 的解集为A，UR，试求A及CUA，并把它们分别表示在数轴上. CUA的补集是什么？,解：先解不等式组得,所以,CUA的补集是A，数轴上表示略,例2. 设集合 若BA，求实数a的值.,课堂训练,1. 下列命题： (1) 空集没有子集；(2) 任何集合至少有两个子集； (3) 空集是任何集合的真子集；(4) 若A，则A, 其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个,2. 下列表示正确的有 . (1) a a; (2) aa,b; (3) a,b b,a; (4) -1,1-
5、1,0,1 (5) 0; (6) -1,1.,3. 下列说法正确的有 . (1) 若U=四边形，A=梯形，则CUA=平行四边形； (2) 若U是全集，且AB，则有CUBCUA； (3) 若U=1,2,3，A=U，则CUA=.,A,(3),(4),(6),(2),(3),5. 设集合A=x|1x3，B=x|x-a0，若A是B的真子集，求实数a的取值范围.,4. 设 则A, B的关系是 .,6. 已知 求实数a的取值范围.,BA,a1,7. 设集合A=|2a-1|,2，B=2,3,a2+2a-3，且CBA=5，求实数a的值。,8. 已知全集U=1,2,3,4,5，非空集A=xU|x2-5x+q=0
6、，求CUA及q的值。,解：由二次方程根与系数的关系有x1+x2=5, x1x2=q 且xU有A=1,4或A=2,3 当A=1,4时, q=4, CUA=2,3,5; 当A=2,3时, q=6, CUA=1,4,5.,交集就是找两个集中中共同存在的元素,三 集合的运算性质,交集,AB可用右图中的阴影部分来表示,一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作AB，即AB=x|xA，且xB,并集就是把两个集和的元素合并到一起,并集,AB可用右图中的阴影部分来表示,一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作AB，即AB=x|xA，或xB,
7、典例精析,例1. 设,已知,求a的值，并求出AB.,解：由AB=9得2a-1=9或a2=9, 即：a=5，3，-3,当a=5时，A=-4,9,25, B=0,-4,9, AB=-4,9, 不合题意,当a=3时，A=-4,5,9, B=-2,-2,9, B的元素重复, 不合题意,当a=-3时，A=-4,-7,9, B=-8,4,9, AB=-4,-7,-8,4,9,所以a的值为-3，AB=-4,-7,-8,4,9,例2. 已知,求实数a的值.,解：由AB=A=1,2得B=, 1, 2, 1,2;,当B=, 0，即(a-2)20, 无解；,当B=1, =0且1-a+a-1=0, 即a=2；,当B=
8、2, =0且4-2a+a-1=0, 无解；,当B=1,2, 0且1+2=a且1a=a-1, 即a=3.,所以a的值为2或者3,课堂训练,1. 集合A0,2,a2，B1,a，若AB1，则a的值为( ) A. 0 B. 1 C. 1 D. 1,2. 集合PxZ|0x3，MxZ|x29，则PM( ) A. 1,2 B. 0,1,2 C. 1,2,3 D. 0,1,2,3,3. 若集合M(x，y)|xy0，xR，yR)，N(x，y) |x2y21，xR，yR，则MN( ) A. (1,1)，(1，1) B. C D.,C,B,D,4. 已知,求p, q, r的值,解：由AB=-2, x2(-2)=-2
9、, -2+x2=p得A=1,-2, p=-1; 又AB=-2,1,5, 得B=-2,5；5(-2)=r, -2+5=-q, 得r=-10, q=-3.,5. 已知,求a, b的值,6. 已知函数ylg(x2x2)的定义域为A，指数函数yax (a0且a1)(xA)的值域为B. (1) 若a2，求AB； (2) 若 ，求a的值,解：(1)依题意知A=x|-x2+x-20=(-1,2), 若a=2，则有 即有 所以有AB=(-1,4). (2) 由A=x|-x2+x-20=(-1,2) 当a1时， 若 ，则必有 (或者 ，a=2，此时 符合题意，故a=2为所求. 当0a1时， 若 则必有 此时 不
10、合题意，舍去. 综上可知a=2.,第二节：函数,第一章：集合与函数,一 函数及其表示,设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为集合A到集合B的一个函数. 记作y=f(x)，xA.,其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值(因变量)，函数值的集合f(x)|x A叫做函数的值域. 而对应的关系f则称为对应法则.,函数,设A、B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之相对应，那么就
11、称对应f：AB为集合A到集合B的一个映射.,解析法，图像法，列表法,函数的表示,函数的三要素,定义域，对应法则，值域,相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据,函数的定义域和对应法则确定了，函数就确定了，值域也就确定了；但对应法则和值域确定了，定义域不是确定的. 例如，y=x2，值域(0,1), 定义域可以为(-1,1), (0,1), (-1,0).,例1 有以下判断： (1) 表示同一函数； (2) 函数yf(x)的图象与直线x1的交点最多有1个； (3) f(x)x22x1与g(t)t22t1是同一函数； (4) 若f(x)|x1|x|
12、，则 其中正确的序号是 .,典例精析,(2) (3),例2 若函数 的定义域为R，求实数m的取值范围.,解：分式分母不为0，函数的定义域为R，则方程mx2+4mx+3=0无解. (1) m=0时方程无解；(2)m0时，=16m2-12m0, 得 终上所述，m的取值范围为,例3 已知下列条件，分别求出f(x)的解析式.,(1) 已知 (2) 已知 (3) 已知f(x)是一次函数，且满足 (4) 已知f(x)满足,解：(1) 已知 所以f(x)=x2-2; (2) 令 ，且x0得 由已知条件可得 所以有 (3) 设f(x)=kx+b, 代入已知条件得化简得kx+(5k+b)=2x+17, 即k=2
13、,b=7, 所以f(x)=2x+7,(4) 由已知条件可得方程组,(1) 凑配法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式； (2) 换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3) 待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (4) 方程思想：已知关于f(x)与 或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x),函数解析式的求法,例4 求函数的定义域 (1) 函数 的定义域； (2) 函数f(2x)的定义域是-
14、1,1, 求f(log2x)的定义域.,解：(1) 真数大于0，二次根式开方数0 ，分母不为0.,(2) 抽象函数定义域： 由f(2x)的定义域-1,1得函数f(x)的定义域为 所以f(log2x)的定义域 即：,其准则一般是： 分式中，分母不为零； 偶次根式，被开方数非负； 对于yx0，要求x0； 对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1； 由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束； 抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系,求函数的定义域,例5 求函数的定义域 (1) (2) (3) (4),解：(1) 分式： (2) 二次函数： 但题目中x有限制，且函数在0,3为增函数，所
15、以值域为y0,15; (3) 根式：令 得 对称轴为t=-1，当t0时，函数为减函数，所以值域为 (4) 基本不等式： 当x=0时可取得y=0；当x0时， 分母取值范围为4,+), 则y的范围为 当x0时， 则y的范围为 终上述得值域 此题可用判别式法：yx2-3x+4y=0, x为任意实数，得方程必然有解，=9-16y20, 的值域,(1) 对于分式，考虑用分离常数法； (2) 对于二次函数，可考虑配方法，图像法，判别式法； (3) 对于根式，可考虑用换元法; (4) 基本不等式求解； (5) 利用求反函数的定义域的方法； (6) 分段函数宜分段求解； (7) 借助于图象利用函数单调性求解,
16、求函数的值域,1. 已知函数,x+2,(x1),x2,(1x2),2x,(x2),若f(x)=3, 则x的值是( ),A. 1 B. 1, C. 1, , D.,D,课堂训练,f(x)=,2. 已知a，b为两个不相等的实数，集合Ma24a,1, Nb24b1,2，f：xx表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x, 则ab等于( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4,D,3. 若函数y=f(x)的定义域是0,2,则函数 的定义域是( ) A. 0,1 B. 0,1) C.0,1)(1,4 D. (0,1),B,4. 设集合Mx|0x2，Ny|0y2，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N
17、的函数关系的有( ),A. B. C. D. ,5. 定义在R上的函数f(x)满足 则f(2013)的值为 ,D,0,6. 已知函数 则f(2log23)的值为( ) A. B. C. D.,D,7. 定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x, yR), f(1)=2, 则f(-3)等于( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 9,8. 设定义在R上的函数f(x)对任意实数x, y都有f(x+y)=f(x)+ 2y(x+y), 且满足f(1)=1, 则f(0)的值为 ; f(x)的表达 .,C,1,2x2+1,9. 已知f(x)的定义域是0,4，则)f(x2)
18、的定义域为 ； f(x1)f(x1)的定义域为 ,-2,2,1,3,f(1-1)=f(1)+ 2(-1)(1-1); f(0+y)=f(0)+2y(0+y),01,10. 已知f(x)2log3x，x1,9，试求函数yf(x)2f(x2)的值域,解:f(x)2log3x的定义域为1,9， 要使(f(x)2f(x2)有意义,必有1x9且1x29， 1x3，yf(x)2f(x2)的定义域为1,3; 又y(2log3x)22log3x2(log3x3)23; x1,3，log3x0,1, ymax(13)2313，ymin(03)236, 函数y(f(x)2f(x2)的值域为6, 13,解: 其对称
19、轴为x1，即1,b为f(x)的单调递增区间 f(x)minf(1)1 ; f(x)maxf(b)b 又b1，由解得a= ; b3.,11. 若函数 的定义域和值域均为1,b(b1)，求a, b的值,解：(1) 若 则(2) f1(x)4x1，14x2，g(x)4x1， f2(x)f1(4x1)16x4；又f2(x)=3 316x44 而14x2，,12. 规定t为不超过t的最大整数, 例如12.6=12, -3.5=-4, 对任意实数x, 令f1(x)4x, g(x)4x-4x, 进一步令f2(x)f1g(x). (1) 若 ，分别求f1(x)和f2(x)； (2) 若f1(x)1，f2(x)
20、3同时满足，求x的取值范围,13. 已知f(x)是二次函数,若f(0)0,且f(x1)f(x)x1. (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数yf(x22)的值域,解：(1) 设f(x)=ax2+bx+c, 由f(0)=0得c=0, 又因为f(x1)f(x)x1，将解析式代入可得 即：函数的解析式为 (2) 令x2-2=t，t-2,+), 其对称轴为 在t-2,+)范围内可取到最小值所以函数yf(x22)的值域为,解: (1)函数的值域为0,)， 16a24(2a6)0， 2a2a30，a1或a (2)对一切xR函数值均为非负,16a24(2a6)8(2a2a3)0. 1a a30， g(
21、a)2a|a3|a23a2; 二次函数g(a)的对称轴为 在 上单调递减， g( )g(a)g(1)即 g(a)的值域为 .,14已知函数f(x)x24ax2a6 (aR) (1) 若函数的值域为0,)，求a的值； (2) 若函数的值域为非负数，求函数g(a)2-a|a3|的值域.,解: 当x0时，f(x)x2bxc，因为f(2)f(0)， f(1)3，(1)2bc3且(2)22bcc，解得c2，b2， f(x)2 (x0)；f(x)=x22x2 (x0), 当x0时，由f(x)x得，x22x2x， 得x2或x1.由x10，所以舍去; 当x0时，由f(x)x得x2， 所以方程f(x)x的解为2
22、, 2.,15. 设函数 , 若 f(-2)=f(0), f(-1)=-3, 求关于x的方程f(x)=x 的解.,二 函数的基本性质,函数的单调性,那么就说在f(x)这个区间上是单调 减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.,那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数，I称为f(x)的单调增区间.,单调区间,设函数y=f(x)的定义域为A, 区间I A. 如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1, x2， 当x1x2时，都有f(x1 ) f(x2 )，,设函数y=f(x)的定义域为A, 区间I A. 如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1, x2， 当x1
23、 f(x2 )，,f(x)M,f(x)M,f(x0)M,f(x0)M,函数的最值,(1) 对于任意xI，都有(2) 存在x0I, 使得,证明：在区间1，+）上任取两个值x1和x2，且x1x2,则,，且,所以函数 在区间上 是增函数.,取值,作差,变形,定号,结论,例1. 判断函数 在定义域1，+）上的单调性，并给出证明：,典例精析, 任取x1, x2D,且x1x2； 作差f(x1)-f(x2); 变形; 判号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负)； 定论,单调性的判定步骤,02,例2 函数f(x)对任意的m, nR, 都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1. (1) 求
24、证：f(x)在R上是增函数； (2) 若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.,(1) 证明: 设x10， 当x0时，f(x)1，f(x2x1)1. f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1， f(x2)f(x1)f(x2x1)10 f(x1)f(x2)， f(x)在R上为增函数 (2)解: m，nR，不妨设mn1， f(11)f(1)f(1)1 f(2)2f(1)1， f(3)=f(21)=f(2)f(1)1=3f(1)24， f(1)2，f(2)2213，f(a2a5)2f(1)， f(x)在R上为增函数，a2a513a2， 即a(3,2),例3 已知函数 其中a0. (1)
25、 若2f(1)f(1)，求a的值； (2) 证明: 当a1时，函数f(x)在区间0,)上为单调减函数； (3) 若函数f(x)在区间1,)上是增函数，求a的取值范围,解：(1) 由2f(1)=f(-1), 得 (2) 证明: 设0x10 f(x1)f(x2)， f(x)在0,+)上为减函数；,(3) 法一: 任取1x1x2，因为f(x)单调递增，所以 f(x1)f(x2)0, 恒成立， 又 所以有 法二: 用求导的方法求a的取值范围 函数在x1,+)上为增函数对于x1,+)以上不等式恒成立；即 恒成立 因为 所以有 所以a的取值范围, k0时, 函数y=f(x)与y=kf(x)+b具有相同的单
26、调性； 若f(x)恒为正或恒为负时, 函数f(x)与1/f(x)具有相反的单调性； 若函数f(x), g(x), 则 增函数f(x)+增函数g(x)是增函数； 减函数f(x)+减函数g(x)是减函数； 增函数f(x)-减函数g(x)是增函数； 减函数f(x)-增函数g(x)是减函数； 奇函数在对称的区间上有相同的单调性, 偶函数在对称的区间上有相反的单调性； 复合函数fg(x)的单调性：同则增异则减； 导数法：若f(x)在某个区间内可导，当f (x)0时, f(x)为增函数；当 f (x) 0时，f(x)为减函数.,函数的单调性规律总结, 确定函数f(x)在给定区间上的单调性； 将函数不等式转
27、化为f(M)f(N)的形式； 运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等式组； 解不等式或不等式组确定解集； 反思回顾查看关键点，易错点及解题规范,解函数不等式的问题的一般步骤, 利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间； 定义法: 先求定义域，再利用单调性定义； 图象法: 如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间； 导数法: 利用导数取值的正负确定函数的单调区间,求函数的单调区间,C,课堂训练,1. 设函数y=f(x)在(-,+)内有定义，对于给定的正数K，定义函数 , 取函数 . 当
28、 时，函数fK(x)的单调递增区间为( ) A. (-,0) B. (0,+) C. (-,-1) D. (1,+),课堂训练,2. 已知 (1)若a2，试证f(x)在(,2)内单调递增； (2)若a0且f(x)在(1,)内单调递减，求a的取值范围,解：(1) 由a=-2, 得 设x10, 图形的单调减区间为a,+), 要想函数在(1,+)单调递减，则00, 则对任意x只要xa就能成立， x的范围为(1,+), 所以a不能取此范围内的任何值，则0a1.,3. 求下列函数的单调区间： (1) (2),解：(1) 先求定义域得x(-,1)(2,+), 内函数t=x2-3x+2, 其对称轴为 ，本来
29、在 上单调递减，在 上单调递增，但考虑到整个函数的定义域，内函数的单调减区间为 (-,1)，单调增区间为(2,+), 两个区间上都有t(0,+); 又外函数 t(0,+)上单调递减，根据复合函数同增异减的原则，可知原函数(-,1)上单调递增，在(2,+)上单调递减； (2) 先求定义域得x(-,-32,+), 内函数的单调减区间为(-,-3, 单调增区间为2,+), 对应t0,+), 外函数 在t0,+)上单调递增，根据复合函数的同增异减原则，可知原函数的单调减区间为(-,-3，单调增区间为2,+).,4. 已知函数f(x)对于任意x, yR, 总有f(x)f(y)f(xy),且当x0时，f(
30、x)0，f(1) (1) 求证：f(x)在R上是减函数； (2) 求f(x)在3,3上的最大值和最小值,解：(1) 证明：设x10时，f(x)0, f(x1)-f(x2)0, 函数在R上为减函数； (2) 由函数的单调性可知，fmax(x)=f(-3), fmin(x)=f(3); f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-2，即fmin(x)=-2； 又f(0)=f(0)+f(0), 得f(0)=0, f(0)=f(x)+f(-x), 得f(-x)=-f(x); 所以f(-3)=f(3)=2, 即fmax(x)=2.,5. 函数f(x)的定义域为(0,)，且对
31、一切x0，y0都有=f(x)f(y)，当x1时，有f(x)0. (1) 求f(1)的值； (2) 判断f(x)的单调性并加以证明； (3) 若f(4)2，求f(x)在1,16上的值域,解：(1) f(1)=f(1)-f(1)=0; (2) 设01时，f(x)0, f(x1)-f(x2)0, 函数在(0,+)上为增函数； (3) 由函数的单调性可知，fmin(x)=f(1)=0, fmax(x)=f(16); 又f(4)=f(16)-f(4), 得f(16)=2f(4)=4, 即fmax(x)=4.,6. 已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(0)0, 且当x0时，f(x)1, 且对任意的a,
32、bR, f(a+b)= f(a)f(b). (1) 求f(0)的值； (2) 判断f(x)的单调性.,解：(1) f(0)=f(0)f(0), 且有f(0)0, 得f(0)=1; (2) 设x10恒成立，上面不等式可以变形为f(x2)f(x1) 函数在R上为增函数.,7. 已知函数 (1) 求证：f(x)在(0,)上是单调递增函数； (2) 若f(x)在 上的值域为 求a的值.,解：(1) 证明: 设00，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(0,)上是单调递增的 (2)解: f(x)在 上的值域是 又f(x)在(0,)上单调递增， 易得,8. 试讨论函数 的单调性.,解: 设10,
33、x1210, 因此，当a0时，f(x1)f(x2)0， 即f(x1)f(x2)，此时函数在(1,1)上为减函数； 当a0时，f(x1)f(x2)0， 即f(x1)f(x2)，此时函数在(1,1)上为增函数,函数的奇偶性,奇函数、偶函数的定义,一般地, 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有那么函数f(x)就是偶函数,f(-x)=f(x)，,一般地, 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有那么函数f(x)就是奇函数,f(-x)=-f(x)，,函数奇偶性的判定,定义法： 函数定义域是否关于原点对称； 判断f(-x)f(x)之一是否成立 图象法： 奇函数的图象关于原点对称； 偶函
34、数的图象关于y轴对称 性质法：利用下面的性质,(1) 图象： 奇函数的图象关于原点对称对于奇函数，若x能取到零, 则f(0)=0; 偶函数的图象关于y 轴对称 (2) 定义域：关于原点对称 (3) 运算性质：奇奇=奇 偶偶=偶 奇偶=非奇非偶偶偶=偶 奇奇=偶 偶奇=奇 (4) 单调性： 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性; 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性 (5) 任意一个定义域关于原点对称的函数, 总可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和,奇偶函数的性质,(偶函数),(奇函数),(偶函数+奇函数),解：(1) 先讨论函数的定义域 由 得-1x1且x0, 定义域为-1,0
35、)(0,1; (2) 函数变形讨论奇偶性 x+20, 则函数变形为 而 即：f(-x)=-f(x), 所以函数f(x)为奇函数.,典例精析,例1 试讨论函数 的奇偶性.,例2 已知函数f(x)对于任何实数x，y 都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) 且f (0)0 求证: f (x)是偶函数.,证明：令x=y=0得 f(0)+f(0)=2f(0)f(0), 而f(0)0, 得f(0)=1; 又令x=0得 f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y), 即f(-y)=f(y), 所以函数f(x)为偶函数.,例3 设 为奇函数, 且定义域为R. (1) 求b的值； (2) 判
36、断函数f(x)的单调性； (3) 若对于任意t R, 不等式 恒成立，求实数k的取值范围,解：(1) 函数变形为 由函数是奇函数有 即： 比较分子可知b=1； (2) 设x1x2, 由 得 所以函数f(x)在R上为减函数； (3) 由 即： ，由减函数得 即 恒成立，有=4+12k0, 解得,B,课堂训练,1. 定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)=f(2-x), 若f(x)在区间1,2上是减函数，则f(x)会( ) A. 在区间-2,-1上是增函数，在区间3,4上是增函数； B. 在区间-2,-1上是增函数，在区间3,4上是减函数； C. 在区间-2,-1上是减函数，在区间3,4上是
37、增函数； D. 在区间-2,-1上是减函数，在区间3,4上是减函数.,2. 已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x), 则 的值是( ) A. 0 B.1/2 C. 1 D. 5/2,A,3. 已知定义在R上的奇函数f(x), 满足f(x-4)=-f(x), 且在区间0,2上是增函数，若方程f(x)=m,(m0)在区间-8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4, 则x1+x2+x3+x4的值为 .,-8,4. 已知函数f(x)=x3+x, 对任意的m-2,2, f(mx-2)+f(x)0恒成立，则x的取值范围为 .,(-2,
38、2/3),5. 已知函数y=f(x), (x0)是奇函数，且当x(0,+)时是增函数，若f(1)=0, 则不等式 的解集为 .,6. 已知f(x)是奇函数, 当x0时, f(x)=x22x, 求当 x0时, f(x)的解析式为 .,f(x)=-x2-2x,7. 已知f(x)是定义在R上的奇函数, 当x0时, f(x)=x2+x-1, 函数f(x)的表达式为( ),8. 已知f(x)是偶函数, g(x)是奇函数，x0,3上的图象如图所示，则不等式 的解集是 .,9. 函数f(x)的定义域Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D.有f(x1x2)f(x1)f(x2) (1)求f(1)的值； (2)判
39、断f(x)的奇偶性并证明； (3)如果f(4)1, f(3x1)f(2x6)3, 且f(x)在(0,)上是增函数，求x的取值范围,解: (1) 令x1x21， 有f(11)f(1)f(1)，解得f(1)0； (2) 令x1x21， 有f(1)(1)f(1)f(1)，解得f(1)0， 令x11, x2x，有f(x)f(1)f(x)， f(x)f(x), f(x)为偶函数; (3) f(44)f(4)f(4)2，f(164)f(16)f(4)3, 即：f(64)f(-64)3，,又f(x)在(0,)上是增函数，且函数为偶函数，则函数在(-,0)上是减函数， 由f(3x1)f(2x6)3=f(64)
40、， 不等式等价于f(|(3x1)(2x6)|)f(64)， |(3x1)(2x6)|64，且(3x1)(2x6)0. 解得 x的取值范围是,10. 定义在(-1,1)上的函数f(x): (i) 对任意x,y(-1,1)都有, (ii) 当x(,0)时，f(x)0. (1) 判断f(x)在(-1,1)上的奇偶性； (2) 判断函数f(x)在(0,1)上的单调性； (3) 若 ，试求 的值.,解：(1) 令x=y=0, 则2f(0)=f(0), 得f(0)=0, 令y=-x, 则f(0)=f(x)+f(-x)=0, 即 f(-x)=-f(x), 函数为奇函数； (2) 任取-10, 即 所以 ，即
41、f(x1)f(x2), 函数在区间上为减函数； (3) 由条件 ，可得出,11. 已知f(x)是定义在-1,1上的奇函数，且f(1)1，若a，b -1,1, ab0时，有 成立 (1) 判断f(x)在1,1上的单调性； (2) 解不等式 (3) 若 对所有的a-1,1恒成立，求实数m的取值范围.,解：(1) 任取-1x1x21, 函数为奇函数， 则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)，有题设有 而x1-x20, 于是f(x1)-f(x2)0, 函数在区间上为增函数； (2) 解不等式 等价于解不等式组 解得 (3) 函数为增函数，最大值为f(x)max=f(1)=1, 所以要使
42、对任意x恒成立，只需 即要使对任意a-1,1， 恒成立，则有 得m的取值范围为,12. 定义在-1,1上的函数f(x)是奇函数, 并且在-1,1上f(x)是增函数, 求满足条件f(1-a)+f(1-a2)0的a的取值范围.,解：函数为奇函数，不等式可变形为f(1-a)-f(a2-1)0, 即 f(1-a)f(a2-1)，而函数又是增函数，解不等式等价于解不等式组 解得 则有a的取值范围为,13. 定义在2,2上的偶函数f(x), 当x0时, f(x)单调递减,若 f(1-m)f(m) 成立,求 m的取值范围,14. 若函数y=f(x)是定义在R上的偶函数, 且在区间(-,0上是减函数，又f(2
43、a-1)f(3-a), 则a的取值范围是 .,解：函数为偶函数，故有 不等式f(1-m)f(m)变形为 又函数在0,2上单调递减, 不等式等价于： 则有m的取值范围为,15 已知函数f(x), 若对一切实数x, y都有f(x+y)=f(x)+f(y), (1) 求f(0)的值； (2) 判定f(x)的奇偶性.,解：(1) 令x=y=0, 则2f(0)=f(0), 得f(0)=0, (2) 令y=-x, 则f(0)=f(x)+f(-x)=0, 即 f(-x)=-f(x), 函数为奇函数,16已知函数 (1) 判断f(x)的奇偶性； (2) 若f(1)2，试判断f(x)在2,)上的单调性,解: (1) 当a0时，f(x)x2，f(x)f(x) ，函数是偶函数 当a0时， 取x1，得f(1)f(1)20； f(1)f(1)2a0， f(1)f(1)，f(1)f(1) 函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数; (2) 若f(1)=2, 代入函数解析式很容易得到a=1， 即 设任意2x1x2, 则有 很明显，有f(x1)f(x2), 函数在区间上为增函数.,
