1、- 1 -第 57 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系1圆 x2 y21 与直线 y kx2 没有公共点的充要条件是(C)A k( ， )2 2B k(， )( ，)2 2C k( ， )3 3D k(， )( ，)3 3因为直线方程的一般式为 kx y20，由 d 1，得 k( ， )2k2 1 3 32在圆 x2 y22 x6 y0 内，过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为(B)A. 5 B102 2C. 15 D202 2最长弦为圆的直径 2 ，最短弦为垂直于过(0,1)点和圆心的直径的弦，圆心(1,3)与10点(0,1)的距离为 ，所以最短
2、弦长为 2 2 .1 4 5 10 5 5所以四边形 ABCD 的面积为 2 210 .12 10 5 23(2015重庆卷)已知直线 l： x ay10( aR)是圆 C： x2 y24 x2 y10 的对称轴过点 A(4， a)作圆 C 的一条切线，切点为 B，则| AB|(C)A2 B4 2C6 D2 10由于直线 x ay10 是圆 C： x2 y24 x2 y10 的对称轴，所以圆心 C(2,1)在直线 x ay10 上，所以 2 a10，所以 a1，所以 A(4，1)所以| AC|236440.又 r2，所以| AB|240436，所以| AB|6.4(2016山东卷)已知圆 M：
3、 x2 y22 ay0( a0)截直线 x y0 所得线段的长度是 2，则圆 M 与圆 N：( x1) 2 (y1) 21 的位置关系是(B)2A内切 B相交C外切 D相离(方法一 )由Error!得两交点为(0,0)，( a， a)因为圆 M 截直线所得线段的长度为 2 ，2所以 2 .又 a0，所以 a2.a2 a 2 2所以圆 M 的方程为 x2 y24 y0，即 x2( y2) 24，圆心 M(0,2)，半径 r12.又圆 N：( x1) 2( y1) 21，圆心 N(1,1)，半径 r21，所以| MN| . 0 1 2 2 1 2 2因为 r1 r21， r1 r23,10)x2(
4、 y a)2 a2(a0)，所以 M(0， a)， r1 a.依题意，有 ，解得 a2.a2 a2 2以下同方法一5将圆 x2 y21 沿 x 轴正向平移 1 个单位后得到圆 C，则圆 C 的方程是 ( x1)2 y21 ，若过点(3,0)的直线 l 和圆 C 相切，则直线 l 的斜率为 .33将圆 x2 y21 沿 x 轴正向平移 1 个单位，将方程中 x 换为 x1，得到圆 C 的方程为( x1) 2 y21，设直线 l 的方程为 y k(x3)，- 2 -由 d 1 得 k .|k 3k|k2 1 336(2016新课标卷)已知直线 l： x y60 与圆 x2 y212 交于 A， B
5、 两点，过3A， B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C， D 两点，则| CD| 4 .如图所示，因为直线 AB 的方程为 x y60，3所以 kAB ，所以 BPD30，从而 BDP60.33在 Rt BOD 中，因为| OB|2 ，所以| OD|2.3取 AB 的中点 H，连接 OH，则 OH AB，所以 OH 为直角梯形 ABDC 的中位线，所以| OC| OD|，所以| CD|2| OD|224.7(2017新课标卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 y x2 mx2 与 x 轴交于 A， B 两点，点 C 的坐标为(0,1)当 m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现 AC BC
6、的情况？说明理由(2)证明过 A， B， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值(1)不能出现 AC BC 的情况理由如下：设 A(x1,0)， B(x2,0)，则 x1， x2满足 x2 mx20，所以 x1x22.又点 C 的坐标为(0,1)，故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为 ， 1x1 1x2 12所以不能出现 AC BC 的情况(2)证明： BC 的中点坐标为( ， )，可得 BC 的中垂线方程为 y x2(x )x22 12 12 x22由(1)可得 x1 x2 m，所以 AB 的中垂线方程为 x .m2联立Error!又 x mx220，可得Error!2所以过 A， B，
7、 C 三点的圆的圆心坐标为( ， )，半径 r .m2 12 m2 92故圆在 y 轴上截得的弦长为 2 3，r2 m2 2即过 A， B， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值8直线 y kx3 与圆( x2) 2( y3) 24 相交于 M、 N 两点，若| MN|2 ，则 k 的取3值范围是(B)A ，0 B ， 34 33 33C ， D ，03 323因为圆心(2,3)到直线 y kx3 的距离 d ，|2k|k2 1- 3 -所以| MN|2 2 2 ，4 d24 4k2k2 1 3解得 3k21，即 k ， 33 339若两圆 C1： x2 y21， C2：( x4) 2(
8、y a)225 相切，则实数 a 2 或 0 .5当两圆外切时， C1C2 51，a2 16所以 a2 ；5当两圆内切时， C1C2 51，所以 a0.a2 16所以 a2 或 0.510在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线 l： y2 x4.设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上(1)若圆 C 也在直线 y x1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；(2)若圆 C 上存在点 M，使| MA|2| MO|，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围(1)由题意知，圆心 C 是直线 y2 x4 和 y x1 的交点，解得 C(3,2)，于是切线的斜率必存在设过 A(0,3)的
9、圆 C 的切线的方程为 y kx3.由题意，得 1，解得 k0 或 k .|3k 1|k2 1 34故所求切线的方程为 y3 或 3x4 y120.(2)因为圆心在直线 y2 x4 上，则 C(a,2(a2)，所以圆 C 的方程为( x a)2 y2( a2) 21.设点 M(x， y)，因为| MA|2| MO|，所以 2 .x2 y 3 2 x2 y2化简得 x2 y22 y30，即 x2( y1) 24.所以点 M 在以 D(0，1)为圆心，半径为 2 的圆上由题意知，点 M(x， y)在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，则|21| CD|21|，即 1 3，a2 2a 3 2解得 0 a .125所以圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为0， 125
