1、- 1 -第 60 讲 抛物线1设抛物线 y28 x 上一点 P 到 y 轴的距离为 4，则点 P 到该抛物线的焦点的距离是(B)A4 B6C8 D12因为 y2 8x 的焦点 F(2,0)，准线 x2，由 P 到 y 轴的距离为 4 知， P 到准线的距离为 6，由抛物线的定义知 P 到焦点 F 的距离为 6.2(2013新课标卷) O 为坐标原点， F 为抛物线 C： y24 x 的焦点， P 为 C 上一点，2若| PF|4 ，则 POF 的面积为(C)2A2 B2 2C2 D43设 P(x0， y0)，则| PF| x0 4 ，2 2所以 x03 ，所以 y 4 x04 3 24，2
2、20 2 2 2所以| y0|2 ，因为 F( ，0)，6 2所以 S POF |OF|y0| 2 2 .12 12 2 6 33如果 P1， P2， Pn是抛物线 C： y24 x 上的点，它们的横坐标依次为x1， x2， xn， F 是抛物线 C 的焦点，若 x1 x2 xn10，则|P1F| P2F| PnF|(A)A n10 B n20C2 n10 D2 n20由抛物线的定义可知| PiF| xi xi1，p2所以| P1F| P2F| PnF|( x1 x2 xn) n10 n.4(2016新课标卷)设 F 为抛物线 C： y24 x 的焦点，曲线 y (k0)与 C 交于点kxP，
3、 PF x 轴，则 k(D)A. B112C. D232因为 y24 x，所以 F(1,0)又因为曲线 y (k0)与 C 交于点 P， PF x 轴，所以kxP(1,2)将点 P(1,2)的坐标代入 y (k0)得 k2.故选 D.kx5(2018广东七校联考)过抛物线 y24 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A， B 两点，若|AF|3，则| BF| .32设 A， B 的横坐标分别为 xA， xB，由抛物线的定义可知| AF| xA xA13，p2所以 xA2，又 AB 是抛物线的焦点弦， xA， xB满足 xAxB 1，p24所以 xB ，所以| BF| xB 1 .12 p2 1
4、2 326(2016湖南省六校联考)若以双曲线 1( b0)的左、右焦点 F1， F2和点 M(1，x22 y2b2- 2 -)为顶点的三角形为直角三角形，则 y24 bx 的焦点坐标为 (1,0) .2显然点 M(1， )为直角顶点，2所以| OM| |F1F2| c，所以 b1.312故抛物线为 y24 x，其焦点为(1,0)7已知斜率为 1 的直线 l 过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F，且与抛物线交于 A， B 两点(1)求直线 l 的方程(用 p 表示)；(2)若设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，求证：| AB| x1 x2 p；(3)若| AB|4，求抛物线方程(
5、1)因为抛物线的焦点 F 的坐标为( ，0)，p2又因为直线 l 的斜率为 1，所以直线 l 的方程为： y x .p2(2)证明：过点 A， B 分别作准线的垂线 AA， BB，交准线于 A， B，则由抛物线的定义得：|AB| AF| BF| AA| BB| x1 x2 x1 x2 p.p2 p2(3)由| AB|4，得 x1 x2 p4，直线 y x 与抛物线方程联立，p2Error!x23 px 0，p24由韦达定理，得 x1 x23 p，代入 x1 x2 p4，解得 p1，故抛物线方程为 y22 x.8(2017新课标卷)过抛物线 C： y24 x 的焦点 F，且斜率为 的直线交 C
6、于点 M(M3在 x 轴的上方)， l 为 C 的准线，点 N 在 l 上，且 MN l，则 M 到直线 NF 的距离为(C)A. B25 2C2 D33 3抛物线 y24 x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1.由直线方程的点斜式可得直- 3 -线 MF 的方程为 y (x1)3联立得方程组Error!解得Error!或Error!因为点 M 在 x 轴的上方，所以 M(3,2 )3因为 MN l，所以 N(1,2 )3所以| NF| 4， 1 1 2 0 23 2|MF| 4， 3 1 2 23 2|MN| 4. 3 1 2 23 23 2所以 MNF 是边长为 4 的等边三角形所以
7、点 M 到直线 NF 的距离为 2 .39已知以 F 为焦点的抛物线 y24 x 上的两点 A， B 满足 2 ，则弦 AB 的中点到抛物AF FB 线准线的距离为 .94设 AB 的中点为 C， AB 的延长线与准线相交于 D，设 A， B， C， F 在准线上的投影分别为 A， B， C， F，设 FB t，则 AF2 t，由抛物线的定义，知 AA2 t， BB t，所以 BB为 DA A 的中位线，所以 BD3 t，由 DF F DC C，得 ，DFFF DCC C所以 ，解得 C C .3t t2 3t 32tC C 9410(2016江苏卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直
8、线 l： x y20，抛物线 C： y22 px(p0)(1)若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；(2)已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q.求证：线段 PQ 的中点坐标为(2 p， p)；求 p 的取值范围(1)抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为( ，0)，p2由点( ，0)在直线 l： x y20 上，得 020，p2 p2即 p4.所以抛物线 C 的方程为 y28 x.(2)设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，线段 PQ 的中点 M(x0， y0)因为点 P 和 Q 关于直线 l 对称，所以直线 l 垂直平分线段 PQ，于是
9、直线 PQ 的斜率为1，则可设其方程为 y x b.证明：由Error!消去 x 得 y22 py2 pb0.(*)因为 P 和 Q 是抛物线 C 上的相异两点，所以 y1 y2，从而 (2 p)24(2 pb)0，化简得 p2 b0.- 4 -方程(*)的两根为 y1,2 p ，p2 2pb从而 y0 p.y1 y22因为 M(x0， y0)在直线 l 上，所以 x02 p.因此，线段 PQ 的中点坐标为(2 p， p)因为 M(2 p， p)在直线 y x b 上，所以 p(2 p) b，即 b22 p.由知 p2 b0，于是 p2(22 p)0，所以 p .43因此， p 的取值范围是(0， )43
