1、2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法课时过关能力提升1.下面叙述正确的是( )A.综合法、分析法是直接证明的方法B.综合法是直接证法,分析法是间接证法C.综合法、分析法都是从要证的结论出发D.综合法、分析法都是从已知条件出发答案: A2.函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,若当 x1 时,f(x) =(x+1)2-1,则当 x1 时,f(x)的解析式为 ( )A.f(x)=(x+3)2-1B.f (x)=(x-3)2-1C.f(x)=(x-3)2+1D.f(x)=(x-1)2-1解析: 设 x1,P(x,y)为函数 y=f(x)图象上任一点,则 P 关于 x=1 的
2、对称点 P(2-x,y)在函数 y=(x+1)2-1 的图象上,所以 y=(2-x+1)2-1=(x-3)2-1.答案: B3.用 maxa1,a2,a3, an表示数集 a1,a2,a3,an中最大的一个数,则对于 a0,b0,且 ab,maABCD.以上都不对解析: a 2+b22ab,2(a 2+b2)(a+b)2.答案: C4.如果 f(x)A.1 B.-1C.0 D.1解析: f(x) 为奇函数,f(-x) =-f(x),a=1.答案: A5.设 f(x)是连续的偶函数,且当 x0 时是单调函数,则满足 f(x)=A.-3 B.3C.-8 D.8解析: 因为 f(x)是连续的偶函数,
3、且当 x0 时是单调函数,由偶函数的性质可知:若 f(x) =:x由知 x2+3x-3=0,故其两根之和为 x1+x2=-3;由知 x2+5x+3=0,故其两根之和为 x3+x4=-5.因此满足条件的所有 x 之和为-8.答案: C6.函数 y=f(x)在区间(0,2)内是增函数,函数 y=f(x+2)是偶函数,则 f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .解析: y=f( x+2)是偶函数,f(x+2) =f(-x+2).x=2 是 f(x)图象的对称轴.又 f(x)在区间(0,2) 内是增函数,f(1)0,对任意的 x1,x2R 都有 f(x1+x2)+2=f(x1)f(x2),
4、且 f(1)=2,则 f(2)= .若令 f(x1)=a,f(x2)=b,且 f(x1+x2)=a+b,则 a+b 的取值范围是 . 解析: f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)-2=22-2=2. f(x 1+x2)=f(x1)f(x2)-2,a+b=ab-2.又 aba+b(a+b )2-4(a+b)-80,解得 a+b2+ a+b2-但 a0,b0,a+b 0.a+b2+答案: 2 2+9.已知ABC 的三边 a,b,c 的倒数成等差数列,试分别用综合法和分析法证明B 为锐角.分析 由于已知条件为边的关系,而证明的结论是角的问题,故需借助正(余) 弦定理,应用三角函数的知识进行证明.
5、证明 证法一(分析法):要证明 B 为锐角,只需证 cos B0. 学 因为 cos B所以只需证明 a2+c2-b20,即 a2+c2b2.又因为 a2+c22ac,所以只需证明 2acb2.由已知 2ac=b(a+c),所以只需证明 b(a+c)b2,即需 a+cb 成立.因为在ABC 中,恒有 a+cb 成立,所以B 为锐角.证法二(综合法):由题意则 b又因为 a+cb,所以 b(a+c)=2acb2.因为 cos B又 y=cos x 在(0,)上单调递减 ,所以B所以B 为锐角.10.已知数列a n满足 a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(nN +).(1)证明数列a
6、 n+1-an是等比数列;(2)求数列a n的通项公式;(3)若数列b n满 N +),证明 bn是等差数列.分析 利用综合法、分析法并结合数列、不等式等知识进行证明即可.(1)证明 因为 an+2=3an+1-2an,所以 an+2-an+1=2(an+1-an).所 N +).因为 a1=1,a2=3,所以 a2-a1=2.所以数列a n+1-an是以 a2-a1=2 为首项,2 为公比的等比数列.(2)解: 由(1),得 an+1-an=2n(nN +), 学 所以 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+2+1=2n-1(nN +).(3)证明 因所2(b1+b2+bn)-n=nbn, 2(b1+b2+bn+bn+1)-(n+1)=(n+1)bn+1. -,得 2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn,即(n-1)b n+1-nbn+2=0, nbn+2-(n+1)bn+1+2=0. -,得 nbn+2-2nbn+1+nbn=0,即 bn+2-2bn+1+bn=0,所以 bn+2-bn+1=bn+1-bn(nN +).所以b n是等差数列.
