1、3.2.2 复数乘法和除法学习目标：1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算(重点、难点)2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法 对加法的分配律 (易混点 )3.了解共轭复数的概念( 难点)自 主 预 习探 新 知1复数代数形式的乘法法则(1)复数代数形式的乘法法则已知 z1abi，z 2cdi，a，b，c，dR，则 z1z2(abi)( cdi)(ac bd)( adbc)i.思考 1：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？提示复数的乘法与多 项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把 i2换成1，再把实部、虚部分别合并(2)复数乘法的运算律对于任意 z1，z 2，z 3C，有交换律 z1z2
2、z 2z1结合律 (z1z2)z3z 1(z2z3)乘法对加法的分配律 z1(z2z 3)z 1z2z 1z3思考 2：|z|2z 2，正确吗？提示不正确例如， |i|21，而 i21.2共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用表示即 zabi，则ab i.3复数代数形式的除法法则(abi)(cdi)Error! i(cdi0)基础自测1思考辨析(1)实数不存在共轭复数 ( )(2)两个共轭复数的差为纯虚数 ( )(3)若 z1，z 2C，且 zz 0，则 z1z 20. ( )答案 (1) (2) (3) 2复数(3 2i)i 等于( )
3、A23i B23iC2 3i D23iB (3 2i)i3i2ii 23i，选 B.3. 已知复数 z2i，则 z的值为( )A5 B.C3 D.A z(2 i)(2i)2 2 i2415，故 选 A.4. (2 i)i_. 12i (2 i)iError! 12i.合 作 探 究攻 重 难复数乘法的运算(1)若复数 (1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是( )A( ，1) B(，1)C(1，) D(1，)(2)计算：(1 2i)(34i)( 2i) ；(3 4i)(34i)；(1 i)2.(1)解析 z(1i)( ai) ( a1)(1a)i，因为对应的点在第
4、二象限，所以Error!，解得 a1 ，故 选 B答案 B(2)(12i)(34i)( 2i)(11 2i)(2i)2015i；(34i)(3 4i)3 2(4i) 29(16)25；(1i) 212ii 22i.规律方法 1两个复数代数形式乘法的一般方法复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等2常用公式(1)(abi) 2a 22abib 2(a，bR)；(2)(abi)(a bi)a 2b 2(a，bR)；(3)(1i)22i.跟踪训练1(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )Ai(1 i) 2 Bi 2(1i)C(1i)
5、2 Di(1i)(2)复数 z(12i)(3 i)，其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是_. (1)C (2)5 (1)A 项，i(1 i) 2i(12ii 2)i2i2，不是纯虚数B 项，i 2(1i)(1 i)1i，不是纯虚数C 项，(1i) 212ii 2 2i，是 纯虚数D 项，i(1i)ii 21i，不是 纯虚数故选 C.(2)(12i)(3 i)3i6i2i 255i，所以 z 的实部是 5.复数除法的运算(1)如图，在复平面内，复数 z1，z 2 对应的向量分别是Error! ， ，则复数对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2)计算：Error!.(1)
6、解析 由复数的几何意义知， z12i，z 2i，所以Error!12i，对应的点在第二象限答案 B(2)原式(1i) 23(1i) 23Error!(2i) 3i(2i) 3(i)Error! 8 81616i16i.规律方法 1两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式2常用公式(1)i；(2)i；(3)i.跟踪训练2(1)设复数 z 满足Error!i，则|z| ( )A1 BC D2(2)计算：；(1)A 由Error!i 得 1z i(1z )，即 zError!，z
7、Error!i，|z| 1，选 A.(2)Error!1i.Error!13i.共轭复数及其应用探究问题1若 z，则 z 是什么数？ 这个性质有什么作用？提示：zz R，利用这个性质可证明一个复数为实数2若 z0 且 z0， 则 z 是什么数？这个性质有什么作用？提示：z 0 且 z0， 则 z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数3三个实数|z|，|，z具有怎样的关系？提示：设 zabi，则a bi，所以|z |，| ，z(abi)(abi) a 2(bi)2a 2b 2，所以|z| 2| 2z.(1)已知复数 zError!，是 z 的共轭复数，则 z等于( )A.Error!
8、B. C1 D2(2)已知复数 z 满足|z|，且(12i)z 是实数，求. 思路探究：可以先设复数的代数形式，再利用复数的运算性质求解；也可以利用共轭复数的性质求解(1)解析 法一：zError! ， zError!.法二：z Error!，|z|Error!，zError!.答案 A(2)设 zabi( a，bR)，则(12i)z(12i)( abi) (a2b)( b2a)i. 又因为(1 2i)z 是 实数，所以 b2a0，即 b2a，又|z |，所以 a2b 25.解得a1，b2.所以 z1 2i 或12i，所以12i 或12i ，即(12i) 母题探究：1.在题设(1)条件不变的情
9、况下，求Error!.解 由例题(1)的解析可知 zError! ， zError!，i.2把题设(2)的条件“(12i) z 是实数”换成“(1 2i)z 是纯虚数” ，求.解 设 zabi，则abi，由例题(2)的解可知 a2b，由|z |，得b1，a 2；或 b1，a2.所以2i，或2i.规律方法 1由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共 轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共 轭复数2注意共轭复数的简单性质的运用当 堂 达 标固 双 基1设复数 z 满足 iz1，其中 i 为虚数单位，则 z 等于( )Ai BiC 1 D1A zError! i.2若复数 zi(32i)(i 是虚数单位)，则( )A23i B23iC3 2i D32iA zi(32i)3i2i 223i，23i.3复数Error!( 为虚数单位)的实部等于_3 由 题可得Error! 3i，3i 的实部为3.4(1 i)2Error!_.Error! i (1i) 2Error!2iError!i.5已知复数 z1(1i)(1bi)，z 2Error!，其中 a，bR.若 z1 与 z2 互为共轭复数，求 a，b 的值. 解 z1( 1i)(1 bi)1bii b(b1)(1b)i, z2Error!i.由于 z1 和 z2 互为共轭复数，所以有解得
