1、 3.2.2 复数的乘法和除法 一、教学目标1知识和技能目标 理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算2过程和方法目标 理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题3情感态度和价值观目标 复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。二、教学重点.难点教学重点：复数代数形式的除法运算。教学难点：对复数除法法则的运用。三、学情分析如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果 a，b，c，dR，那么a+bi=c
2、+di a=c，b=d，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小四、教学方法多媒体、实物投影仪。五、教学过程1.虚数单位 :(1)它的平方等于 -1，即 ; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有i 21i加、乘运算律仍然成立2. 与1 的关系: 就是1 的一个平方根，即方程 x2=1 的一个根，方程 x2=1 的另一个根是ii i3. 的周期性： 4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1iiii4.复数的定义：形如 的数叫复数， 叫复数的实部， 叫复数的虚部全体复数所成的集合(,)abiRab叫做复数集，用字母 C 表示 3. 复数的代数形式: 复数通常用字
3、母 表示，即 ，把复数表示成 a+bi 的形式，叫做复(,)zabiR数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系：对于复数 ，当且仅当 b=0 时，复数(,)abia+bi(a、bR)是实数 a；当 b0 时，复数 =a+bi 叫做虚数；当 a=0 且 b0 时， =bi 叫做纯虚数；当且仅当a=b=0 时， 就是实数 0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Q R C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，dR，那么 a+bi=c+di a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两
4、个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴：点 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 =a+bi(a、b R)可用点 (a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0) ， 它所确定的复数是 =0+0i=0 表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8复数 1 与 2 的和的定义： 1+ 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9. 复数 1 与 2 的差的定义： 1- 2=(
5、a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.10. 复数的加法运算满足交换律: 1+ 2= 2+ 1.11. 复数的加法运算满足结合律: ( 1+ 2)+ 3= 1+( 2+ 3)讲解新课：乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设 1=a+bi， 2=c+di(a、b、c、d R)是任意两个复数，那么它们的积 (a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 i2 换成1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2.乘法运算律：(1) 1( 2 3)=( 1 2) 3 证明：设 1=a1+b1
6、i， 2=a2+b2i， 3=a3+b3i(a1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3R). 1 2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，2 1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又 a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b 1a2+a1b2=b2a1+a2b1. 1 2= 2 1.(2) 1( 2+ 3)= 1 2+ 1 3证明：设 1=a1+b1i， 2=a2+b2i， 3=a3+b3i(a1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3R).( 1 2) 3=( a1+b1i)(a2+b2i)
7、(a 3+b3i)=(a 1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i(a 3+b3i)=(a 1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3+( b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：1( 2 3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，( 1 2) 3= 1( 2 3).(3) 1( 2+ 3)= 1 2+ 1 3.证明：设 1=a1+b1i， 2=a2+
8、b2i， 3=a3+b3i(a1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3R). 1( 2+ 3)=(a1+b1i)( a2+b2i)+(a3+b3i)=(a 1+b1i)(a 2+a3)+(b2+b3)i=a 1(a2+a3)-b1(b2+b3)+b 1(a2+a3)+a1(b2+b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.1 2+ 1 3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-
9、b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i 1( 2+ 3)= 1 2+ 1 3.六、知识应用，深化理解例 1 计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)(5-2-3)+(-6-1-4) i=11 i例 2 计算：(12i)+(2+3 i)+(34i)+(4+5 i)+(2002+2003i)+(20032004i)解法一：原式=(12+34+2002+2003)+( 2+34+5+20032004i)=(20031001)+(10012004
10、)i=10021003i .解法二：(12i)+(2+3 i)= 1+i， (34i)+( 4+5i)=1+ i，(20012002i)+(2002+2003) i=1+i.相加得(共有 1001 个式子)：原式=1001(1+i )+(20032004i)=(20031001)+(10012004)i =10021003i例 3 已知复数 1=2+i， 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为 A、B，求 对应的复数 ， 在平面内所对应的点在第几象限？解： = 2 1=(1+2i)(2+i)=1+i， 的实部 a=10，虚部 b=10，复数 在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应
11、的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即所表示的复数是 B A. ，而 所表示的复数是 A B，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量 所对应的复数是惟一A的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关例 4 复数 1=1+2i， 2=2+ i， 3=12i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.分析一：利用 ，求点 D 的对应复数.BCA解法一：设复数 1、 2、 3 所对应的点为 A、B、C，正方形的第四个顶点 D
12、对应的复数为 x+yi(x，yR)，是：=(x+yi)(1+2i)=(x1)+( y2)i;OAD=(12i)(2+i)=13i .BC ，即(x1)+(y 2) i=13i， 解得,321y.1,2故点 D 对应的复数为 2i.分析二：利用原点 O 正好是正方形 ABCD 的中心来解.解法二：因为点 A 与点 C 关于原点对称，所以原点 O 为正方形的中心，于是(2+i)+(x+yi)=0，x=2，y= 1.故点 D 对应的复数为 2i.点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用六、当堂检测1、 (2)34()ii2、（1） （2）(34)i2(1)i3、计算 (12)(34)ii4、计算（1） （2）(7)34)ii1i设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学 之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律.七、课堂小结1.知识建构2.能力提高3.课堂体验八、课时练与测九、教学反思
