1、1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念学习目标 1.了解集合的含义，体会元素与集合的关系.2.掌握集合中元素的两个特性.3.记住常用数集的表示符号并会应用.知识链接1.在初中，我们学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合.2.在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合.几何图形都可以看成点的集合.3.解不等式 2x13 得 x2，即所有大于 2 的实数合在一起称为这个不等式的解集.4.一元二次方程 x23x 20 的解是 x1，x2.预习导引1.元素与集合的概念(1)集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象
2、的 全体构成的集合(或集).(2)元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素.(3)集合元素的特性：确定性、互异性.2.元素与集合的关系关系 概念 记法 读法属于 如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A aA a 属于集合 A不属于 如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合A aAa 不属于集合 A3.集合的分类(1)空集：不含任何元素的集合，记作.(2)非空集合：有限集：含有有限个元素的集合.无限集：含有无限个元素的集合.4.常用数集的表示符号名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集符号 N N 或 N Q R要点一 集合的基本概念例 1 下列每组对象能
3、否构成一个集合：(1)我们班的所有高个子同学；(2)不超过 20 的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；(4) 的近似值的全体.3解 (1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合.(2)任给一个实数 x，可以明确地判断是不是“不超过 20 的非负数” ，即“0x20”与“x20 或 x0” ，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过 20 的非负数”能构成集合；(3)“ 一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“ 的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如 “2”是不是它3的近似值，所以“ 的近似
4、值”不能构成集合.3规律方法 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.跟踪演练 1 下列所给的对象能构成集合的是_.(1)所有正三角形；(2)必修 1 课本上的所有难题；(3)比较接近 1 的正整数全体；(4)某校高一年级的 16 岁以下的学生.答案 (1)(4)解析 序号 能否构成集合 理由(1) 能 其中的元素是“三条边相等的三角形”(2) 不能“难题”的标准是模糊的、不确定的，所以所给对象不确定，故不能构成集合(3) 不能 “比较接近 1”的标准不
5、明确，所以所给对象不确定，故不能构成集合(4) 能 其中的元素是“16 岁以下的学生”要点二 元素与集合的关系例 2 所给下列关系正确的个数是( ) R； Q；0N ；|3| N .12 2A.1 B.2 C.3 D.4答案 B解析 是实数， 是无理数，正确.N 表示正整数集， 和不正确.12 2规律方法 1.由集合中元素的确定性可知，对任意的元素 a 与集合 A，在“aA”与“aA”这两种情况中必有一种且只有一种成立.2.符号“”和“”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系.3.“”和“”具有方向性，左边是元素，右边是集合.跟踪演练 2 设不等式 32x0 的解集为 M，下列关系
6、中正确的是 ( )A.0M,2M B.0M,2MC.0M,2M D.0M,2M答案 B解析 本题是判断 0 和 2 与集合 M 间的关系，因此只需判断 0 和 2 是否是不等式32x0 的解即可，当 x0 时，32x 30，所以 0M；当 x2 时，32x10，所以 2M.要点三 集合中元素的特性及应用例 3 已知集合 B 含有两个元素 a3 和 2a1，若3B，试求实数 a 的值.解 3B，3a3 或32a1.若3a3，则 a0.此时集合 B 含有两个元素3，1，符合题意；若32a1，则 a1.此时集合 B 含有两个元素4，3，符合题意.综上所述，满足题意的实数 a 的值为 0 或1.规律方
7、法 1.由于集合 B 含有两个元素，3B，本题以3 是否等于 a3 为标准，进行分类，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验.2.解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准.跟踪演练 3 已知集合 Aa 1，a 21 ，若 0A，则实数 a 的值为_.答案 1解析 0A，0a1 或 0a 21.当 0a1 时，a1，此时 a210，A 中元素重复，不符合题意.当 a210 时，a1.a1(舍) ，a1.此时，A2,0，符合题意.1.下列能构成集合的是( )A.中央电视台著名节目主持人B.我市跑得快的汽车C.上海市所有的中学生D.香港的高楼答案 C解析 A、B、
8、D 中研究的对象不确定，因此不能构成集合.2.集合 A 中只含有元素 a，则下列各式一定正确的是( )A.0A B.aAC.aA D.aA答案 C解析 由题意知 A 中只有一个元素 a，aA，元素 a 与集合 A 的关系不能用“” ，a 是否等于 0 不确定，因为 0 是否属于 A 不确定，故选 C.3.设 A 表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳_A；广州_A(填或).答案 解析 深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会.4.已知 R； Q；0N ；Q；3 .正确的个数为_.513答案 3解析 是正确的；是错误的.5.已知 1a 2，a，则 a_.答案 1解析 当 a21 时，a1，但 a1 时，a 2a，由元素的互异性知 a1.1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定.若研究对象不确定，则不能构成集合.2.集合中的元素是确定的，某一元素 a 要么满足 aA，要么满足 aA，两者必居其一.这也是判断一组对象能否构成集合的依据.3.集合中元素的两种特性：确定性、互异性.求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.
