1、课堂导学三点剖析一、运用导数求函数的单调区间【例 1】 求下列函数的单调区间.(1)y=x4-2x2+6;(2)y=-lnx+2x2.思路分析:求出导数 y,分别令 y0 或 y0,即 4x3-4x0,解得-11,所以单调增区间为(-1,0)和(1,+).令 y0,即 4x- 0,解得 ;令 y0,单调增区间为( ,+),单调减区间为(0, ).121温馨提示在求单调区间时,一定要在定义域内考虑.二、函数单调性的逆向应用【例 2】 若函数 f(x)= x3- ax2+(a-1)x+1 在区间(1,4)内为减函数 ,在区间(6,+) 上为增函数,试1求实数 a 的取值范围.解：函数 f(x)的导
2、数 f(x)=x2-ax+a-1.令 f(x)=0,解得 x=1 或 x=a-1.当 a-11,即 a2 时,函数 f(x)在 (1,+)上为增函数,不合题意.当 a-11,即 a2 时,函数 f(x)在(-,1)上为增函数,在(1,a-1)内为减函数,在(a-1,+)上为增函数.依题意应有当 x(1,4)时,f(x)0.所以 4a-16,解得 5a7.所以 a 的取值范围是5,7.温馨提示本题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的基本方法,考查综合运用数学知识解决问题的能力.三、运用导数证明不等式【例 3】 当 x(0, )时,证明 tanxx.2思路分析：首先构造函数 f(x)
3、=tanx-x,然后判断 f(x)在(0, )上的单调性.2证明:设 f(x)=tanx-x,x(0, ).f(x)=( )-1= -1= -1= =tan2x0.xcosinx2cosinx2cos1x2csf(x)在 (0, )上为增函数.2又 f(x)=tanx-x 在 x=0 处可导且 f(0)=0,当 x(0, )时,f(x)f(0)恒成立,即 tanx-x0.2tanxx.温馨提示对于 tanx 的导数,它不是初等函数的导数,可先变换成初等函数的导数,然后根据运算法则求导.各个击破类题演练 1证明函数 f(x)=ex+e-x 在0,+)上是增函数.证明:f(x)=(e x)+( ,
4、 )=ex+( - )=ex-e-x= .2e1exe2)(当 x0,+)时,e x1,f(x)0.f(x)=ex+e-x 在0,+)上为增函数 .变式提升 1已知 xR,求证:e xx+1.证明:令 f(x)=ex-x-1,f(x)=ex-1.x0,+),ex-10 恒成立,即 f(x)0.f(x)为增函数 .当 x(-,0)时,f(x)=e x-10),则 y=f(x)=ax2+bx+c;则 f(x)=2ax+b,由此可知 a0,又因为函数 y=f(x)图象过原点,所以 c=0,故 y=ax2+bx+c 的顶点:x= 0,y= = 0,故选 A.abbc4a2答案:A变式提升 2确定函数
5、f(x)=x2-4x+3 的单调区间 .解:f(x)=2x-4.令 2x-40,解得 x2.因此函数 f(x)的单调增区间为(2,+).令 2x-43- (x1).x1证明:令 f(x)=2 -3+ ,则 f(x)= .21xx1 时,x 2 0. .21xf(x)= 0.2f(x)在 (1,+)上为增函数.当 x1 时,f(x)f(1)=2-3+1=0.当 x1 时,2x3- .x1变式提升 3已知函数 f(x)与 g(x)均为闭区间a,b上的可导函数,且 f(x)g(x),f(a)=g(a),证明:当xa,b时,f(x)g(x).证明:设 F(x)=f(x)-g(x),则 F(x)=f(x)-g(x)0,所以 F(x)=f(x)-g(x)在区间a,b上单调递增.所以对任意 xa,b ,f(x)-g(x)f(a)-g(a)=0,即 f(x)g(x).
