1、用心 爱心 专心 - 1 -从高考解几题谈求参数取值范围的九个背景解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。由于不少考生在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，本文通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，期望对考生的备考有所帮助。背景之一：题目所给的条件利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。这是求范围问题最显然的一个背景。例 1：椭圆 的焦点为 F1、F 2，点 P(x, y)为),0(12 为 半 焦 距cbabyax其上的动点，当F 1PF2
2、为钝角时，点 P 的横坐标的取值范围是_。解：设 P(x1, y)，F 1PF2是钝角 cosF 1PF2 =| 2112P2121 )(|0 ycxFPF 2)(cx24yxcy222)(abcxabxc )(222ba。2说明：利用F 1PF2为钝角，得到一个不等式是解题的关键。把本题特殊化就可以得到2000 年全国高考题理科第 14 题：椭圆 的焦点为 F1、F 2，点 P 为其上的动点，当F 1PF2为钝角时，点 P 横坐492yx标的取值范围是_。（答案为 x ， ）53()例 2：（2000 年全国高考题理科第 22 题）如图，已 知梯形ABCD 中， =2 ，点 E 分有向线段
3、AC 所成的比为ABCD ，双曲线过点 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点。当 时，求双曲线离心率 e 的取值范围。432用心 爱心 专心 - 2 -解：如图，以线段 AB 的垂直平分线为 y 轴。因为双曲线经过点 C、D ，且与 A、B 为焦点，由双曲线的对称性知 C、D 关 y 轴对称，依题意，记 A ，C( ，h)，E(x 0，y 0), )0,(c2其中 c = 为双曲线的半焦距，h 是梯形的高。AB21由定比分点坐标公式得： x0= = ， y0= 。12c)1(h设双曲线方程为 =1，则离心率 e = 。2abya由点 C、E 在双曲线上，将点 C、E 的坐标和 e = 代入双
4、曲线方程得c142bhe1)()(2bh由式得 42ebh将式代入式，整理得： 2312ee 0743213e说明：建立 与 e 的函数关系式，再利用已知 的范围，即可求得 e 的范围。背景之二：曲线自身的范围圆、椭圆、双曲线及抛物线都有自身的范围，如椭圆 b0)abyx(12中，x ，利用这些范围是确定参数范围的途径之一。,10,ebya例 3：（2002 年全国高考题）设点 P 到点 M(1，0)、N(1，0)距离之差为 2m，到 x 轴、y 轴距离之比为 2，求 m 的取值范围。解：设点 P 的坐标为(x，y)，由题设得 ，即 y = 2|x0,x由于 x ，所以点 P(x，y)、M(1
5、，0)、N(1，0)三点不共线，得01|02|2| mMNmM用心 爱心 专心 - 3 -因此，点 P 在以 M、N 为焦点，实轴长为 2 的双曲线上，故m=1 221myx将式代入，解得 2251)(x由 且 ，得 ，又 m2x012m502 0 (0, ),5(m)5说明：P 到 x 轴、y 轴距离之比为 2，所以 P 不能在 x 轴上，由此得到 m ，这一隐含0条件容易忽视。例 4：（2004 年全国卷理科 21 题 文科 22 题）设椭圆 的12y两个焦点是 F1(c, 0)与 F2(c, 0) (c 0)，且椭圆上存在一点 P，使得直线 PF1与 PF2垂直。(1)求实数 m 的取值
6、范围；(2)设 l 相应于焦点 F2的准线，直线 PF2与 l 相交于 Q，若 ，求直线 PF232|PF的方程。解：(1)依题设有 m11,即 m 0，c = ,设点 P 的坐标为(x 0, y0)，由 PF PF 2 1，得 yxcxy 2001将与 联立，解得 x20ymmy1,2020由此得012m1用心 爱心 专心 - 4 -故 m , + )1(2)答案为 y = ( ) (x- ) ( 解答略)23背景之三：二次方程有解的条件直线和圆锥曲线的关系，是解析几何中最常见的关系，它们联立消元后所得的判别式非负是直线和圆锥曲线有公共点的充要条件；若有限制条件，则还应考虑根的分布情况等，这
7、是确定参数取值范围的一个常见背景。例 5：（全国高考题）给定双曲线 x = 1，过点 B(1，1)能否作直线2yl，使 l 与所给双曲线交于 P1及 P2，且点 B 是线段 P1P2的中点？这样的直线 l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。解：画出图像知，当直线斜率不存在时，满足题设条件的 l 不存在。当直线 l 斜率存在时，设为 k，则 l 方程为 y = k(x1)1，联立 ，得12yx。032)2()(2 xkx设 ,22,1,121 kkxyP即则 此 时。0,0)3)(4)2( 且不 满 足kk故满足已知条件的直线 l 不存在。例 6：（2004 年湖北省高考题理科 20
8、 题 文科 20 题）直线 与双曲线1:kxyl的右支交于不同的两点 A、B。12:2yxC(1)求实数 k 的取值范围；(2)是否存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过曲线 C 的右焦点 F？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由。解：(1)将直线 代入双曲线方程，并整理得1xy 02)(2kxk依题意，直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点，故用心 爱心 专心 - 5 -020)2(8)2(0kkk 2k(2)答案是存在 满足题设。56k说明：问题(1)涉及到直线与双曲线右支相交的问题，转化为方程有不等的两正根，由方程根的分布的充要条件建立不等式组即可。背景之四：已知变量的范
9、围利用题中给出的某个已知变量的范围，或由已知条件求出某个变量的范围，然后找出这个变量与欲求的参变量之间的关系，进而求解。1、双参数中知道其中一个参数的范围；例 7：（2004 年浙江省高考题理科 21 题 文科 22 题）已知双曲线的中心在原点，右顶点为 A(1, 0)，点 P、Q 在双曲线的右支上，点 M(m, 0)到直线 AP 的距离为 1。(1)若直线 AP 的斜率为 k，且 ，求实数 m 的取值范围；3,|(2)当 时， 的内心恰好是点 M，求此双曲线的方程12mA解：(1)由条件知直线 AP 的方程为 ，因为点0),1(kyxky即M 到直线 AP 的距离为 1，所以 。222 1|
10、m 3,|k 321312|1|2 mm或故 ,3,(2)答案是 （解答略）1)2(yx例 8：（2004 年全国高考卷理科 21 题）给定抛物线 ，F 是 C 的焦点，过xyC4:2用心 爱心 专心 - 6 -点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点。(1)设 l 的斜率为 1，求 的夹角的大小；O与(2)设 ，求 l 在 y 轴上截距 m 的变化范围。9,4,若F解：(1)答案为 （解答略） 。13arcos(2)F(1, 0), 设 A(x1, y1), B(x2, y2), 由题设 , 得AFB，)(),1(2yx即 212由得得 2y 124,xy x联立、解得 ，依题意有2
11、0 得直线 l 方程为：),1(),(),( FB又或211xyxy或当 时，方程 l 在 y 轴上的截距 。9,4121m或由 ，可知在 上是递减的。2)1(212 9,4 9,4 。433m或故直线 l 在 y 轴上截距 m 的变化范围是 。34,说明：例 7 和例 8 都是已知一个变量的范围求另一变量的范围，可先利用题设条件建立变量的关系式，将所求变量和另一已知变量分离，得到函数关系，再由已知变量的范围求出函数的值域，即为所求变量的范围。这类背景也可归结为背景一。2、双参数中的范围均未知例 9：（2004 年全国卷文 2 理 21）设双曲线 与直线)0(1:2ayaxC用心 爱心 专心
12、- 7 -相交于不同的点 A、B。1:yxl(1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围；(2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且 ，求 a 的值。B125解：(1)由 C 与 l 相交于两个不同的点，故知方程 有两个不同的实数解，12yx消去 y 并整理得： 02)1(2axa由 12)(4)2(02 a且双曲线的离心率 112ae 20a且 6e且故 ),2(),(2)略说明：先求出 a 的范围，再建立 e 与 a 的函数关系式，即可求出 e 的范围。例 10：直线 与双曲线 的左支交于 A、B 两点，直线 l 经过点1kxy12yx和 AB 的中点，求直线 l 在 y 轴上的截距 b
13、 的取值范围。)0,2(解：由方程组 ，消去 y 得：12x 02)(2kx设 ，AB 中点 ，则有：0,),(),( 221 xyBA ),(0yM10128412kkxk用心 爱心 专心 - 8 - )1,(,1,12 220210 kMkkxyx 即设直线 l 的方程为 ，则有20,),(xymbm而则，它在 上单调递减。81742212kkm)2,( 1 ),(),(b说明：这类问题可先求出一个变量的范围，另一个变量范围就相应可求出来了。背景之五：点在圆锥曲线内域或外域的充要条件如果我们规定圆锥曲线包含焦点的区域称为圆锥曲线的内域，同时坐标平面被圆锥曲线所划分的另一部分称为圆锥曲线的外
14、域，则点 ，在),(0yxP椭圆 内（外）域的充要条件是 ；点 在双曲线12byax 120ba),(0yxP内（外）域的充要条件是 ；点 在抛物线2 )(20yx),(0的内（外）域的充要条件是 。以这些充要条件为)0(pxy 2000pxyx背景的范围问题利用上述不等式可获解。例 11：（1986 年全国高考题）已知椭圆 ，试确定 m 的取134:2C值范围，使得对于直线 ，椭圆 C 上有不同的两点 P，Q 关于该直线对称。mxyl4:解：设 中点 ，则：PQxP),(),(21 ),(0yxM3421y2x得， )(30)(4)(3 2121212121 xyyxx = 0002121)
15、()(4 xyxy 用心 爱心 专心 - 9 -又 mxy04由、解得 y3,0又点 在椭圆内部),(0M ，即 。13420yx 13)(4)(22132m背景之六：三角形两边之和大于第三边椭圆或双曲线上一点与它们的两个焦点的构成一个三角形，具有这一背景的问题往往可以利用三角形两边之和大于第三边产生的不等式来确定参数的范围。例 12：已知双曲线 的左、右两个焦点分别为 F1、),(12RbayxF2，左准线为 l，在双曲线的左支上存在点 P，使|PF 1|是 P 到 l 的距离 d 与|PF 2|的等比中项，求离心率 e 的取值范围。解：由|PF 1|2 = d |PF2| eF|1212|
16、 1|12edF又|PF 2| = 2a|PF 1| 由、得|PF 1| |PF2|,eea在PF 1F2中，|PF 1|PF 2| |F1F2|，即 )1(21ece。e说明：因为 P 点还可能在双曲线顶点上，所以|PF 1|PF 2| |F1F2|。背景之七：参数的几何意义解析几何是 一 门 数 与 形 相 结 合 的 学 科 ， 其 中 许 多 的 变 量 都 有 十 分 明 显 的 几 何 意 义 ， 以 此 为背 景 的 范 围 问 题 只 要 抓 住 了 参 数 的 几 何 意 义 都 可 以 达 到目的。例 13：椭圆 C 的上准线是抛物线 的准线，且 C 经过这条抛物yx42线
17、的焦点，椭圆的离心率 ，求椭圆的长半轴 a 的范围。1e解：设椭圆的上焦点为 F(x, y)，由定义知， 212)(| eyxFA。故椭圆上焦点 F 的轨变是以 A(0, 1)为圆心，半径为 1 的圆。1)(22yx用心 爱心 专心 - 10 -由此易知焦点 F 到准线 y = 1 的距离 p 的范围是 。31p又 aecap2322 31背景之八：平均值不等式解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质。利用代数基本不等式是求范围的又一方法。例 14：已知直线 l 过定点 A(3, 0)，倾斜角为 ，试求 的范围，使得曲线的所有弦都不能被直线 l 垂直平分。2:xyC解：当直线的斜率为 0
18、或不存在时，符合题意。设直线 l 的方程为 ，被它垂直平分的弦的两端点为 ， ，)3(xky ),(21tB),(2tC则 BC 中点 P 。2121212,( ttttBC当线段 BC 被 l 垂直平分时，有 212121)3(ttkt 。)16(2k4)2(2t符合题意的直线斜率 。1tan,1即k 。)2arct2,0说明：本题的求解利用补集法，即先求弦能被 l 垂直平分的直线 l 的斜率，取其补集就是满足题设的斜率，再利用斜率和倾斜角的关系，就可以求出 的范围。背景之九：目标函数的值域要确定变量 k 的范围，可先建立以 k 为函数的目标函数 ，从而使这种具有函数)(tfk背景的范围问题
19、迎刃而解。例 15： 是椭圆 上任一点，F 1、F 2是两个焦点，求),(yxP)0(12bayx用心 爱心 专心 - 11 -|PF1|PF2|的取值范围。解：|PF 1|PF 2| = 2a|PF 1|PF2| = |PF1|(2a |PF1|) =(|PF 1| a)2 a2又 cPFca当 时, 有最小值 b2; 当 时, |PF 1|PF2|有最大值 a2。|1 PF|1故|PF 1|PF2|的取值范围是 。,a例 16：（2004 年福建省高考题理科 22 题）如图，P 是抛物线 上一点，直线2:xyCl 过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q。(1)若直线 l 与过点 P 的切
20、线垂直，求线段 PQ 中点 M 的轨变方程；(2)若直线 l 不过原点且 x 轴交于点 S，与 y 轴交于点 T，试求 的取值范围。|SQTP解：(1)设 ，依题意有 。),(),(),( 021yQ0,021yx由 xyy得,2过点 P 的切线的斜率为 1 不合题意01x 直线 l 的斜率 1xk直线 l 的方程为 )(211xy联立直线 l 和抛物线方程，消去 y，得 0212M 是 PQ 的中点 )(121002xxy消去 x1，得 )0(200用心 爱心 专心 - 12 -PQ 中点 M 的轨迹方程为 。)0(12xxy(2)设直线 l 的方程为 ，依题意 ，分别过 P、Q 作bk )
21、,(,bTbk则轴， 轴，垂足分别为 、 ，则xPyQ PQ| 21yOTPST由 0)(2212bkybkxy 21221),(方法 1： 21|1|)(| 221 bybybSQTPy 1、y 2可取一切不相等的正数 的取值范围是|ST),(方法 2： 221)(| bkybQP当 时，0b 2)()(| 2 kST当 时，bkbQP)()(| 22又由方程有两个相异实根，得，于是 ，即0)(4)(4222 kbk 02kbk2所以 | SQTP当 时， 可取一切正数0bk2 的取值范围是|SQTP),(用心 爱心 专心 - 13 -说明：利用图形找到 与 P、Q 两点纵坐标之间的关系，是快速求解第(2)个|ST问题的关键。
