1、,抛物线的简单几何性质,乌 市 第 54 中 宋 飞,前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质,它们都是通过标准方程的形式研究的,现在请大家想想抛物线的标准方程、图形、焦点及准线是什么?,一、复习回顾：,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,二、 练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）,开口向右,开口向左,开口向上,开口向下,1、范围,一、抛物线的几何性质,由抛物线y2 =2px（p0）,所以抛物线的范围为,2、对称性,抛物线y2 =2px（p0）关于 x轴对称.,x轴,y轴,y轴,注：焦点在对称轴上,定义：抛物线和它
2、的轴的交点称为抛物线的顶点。,由y2 = 2px （p0）当y=0时,x=0, 因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）。,注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。,、顶点,4、离心率,抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离 之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知e=1。,下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。,（二）归纳：抛物线的几何性质,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,x0 yR,x0 yR,y0 xR,y 0 xR,(0,0),x轴,y轴,1,特点：,1.抛物线只位于半个坐标平面内
3、,2.抛物线只有1条对称轴,没有 对称中心;,3.抛物线只有1个顶点、 1个焦点、1条准线;,4.抛物线的离心率是确定的,为1;,例：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（， ），求抛物线的标准方程。,例题,课堂练习：求适合下列条件的抛物线的方程,1、顶点在原点，焦点F为（0，5）;2、顶点在原点，关于x轴对称,并且经过点M(-5, 4).3、若抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点P(2,2)；,2. 若抛物线的焦点在直线x2y40上，求抛物线的标准方程。,解析：由x0，y2，由y0，x4即(0，2)或(4,0)为抛物线的焦点 抛物线方程为y216x或x28y.,答
4、案：y216x或x28y,解法1 抛物线的焦点 F(1 , 0),解法 2:抛物线的焦点 F(1 , 0),|AB |= |AF|+ |BF |= |AA1 |+ |BB1 |=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=8,A1,B1,（二）焦点弦：通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接两点的线段叫做抛物线的焦点弦。,F,A,B,特别的，过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径。,|AB|=2p,焦点弦公式：,（一）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。,焦半径公式：,（一）本节课我们学习了抛物线的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。 （二）了解了抛物线的焦半径，焦点弦和通径 （三）我们运用了数形结合，待定系数法来求解抛物线方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。,四、归纳总结,作业：,1、抛物线 上的点M横坐标为4，求点M与抛物线的焦点的距离,2、 上的点M纵坐标为2，求点M与抛物线的 焦点的距离 3、抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，过焦点且 与y轴垂直的弦长为8，求抛物线方程 4、抛物线,的焦点为F, 斜率为2的直线过抛物线,的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.,谢 谢 ,
