1、第4章 电路定理(Circuit Theorems),4.1 叠加定理 (Superposition Theorem),4.2 替代定理 (Substitution Theorem),4.3 戴维宁定理和诺顿定理(Thevenin-Norton Theorem),4.4 特勒根定理 (Tellegens Theorem),4.5 互易定理 (Reciprocity Theorem),4.6 对偶原理 (Dual Principle),重点:,掌握各定理的内容、适用范围及如何应用；,4.1 叠加定理 (Superposition Theorem),4.3 戴维宁定理和诺顿定理(Thevenin-
2、Norton Theorem),4-1 叠加定理 (Superposition Theorem),在线性电路中，当有两个或两个以上的独立电源作用时，则任一电流或电压，都是电路中各个电源单独作用时，在该处产生的电流或电压的叠加。,一、叠加定理,1、叠加定理的内容,(a),(b),(c),R1,R2,u1,i2,is,us,R2,u1,i2,us,R2,u1,i2,is,( 1 ),( 1 ),( 2 ),( 2 ),对图示电路,单独作用时(b图)：,R1,R1,=,+,单独作用时(c图) ：,故,(a),(b),(c),R1,R2,u1,i2,is,us,R2,u1,i2,us,R2,u1,i2
3、,is,( 1 ),( 1 ),( 2 ),( 2 ),R1,R1,=,+,2.证明,根据KCL和KVL可列出方程：,解出,再求,，即,R1,R2,u1,i2,is,us,支路电压和支路电流均为各电源的一次函数，均 可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。,结论,3. 几点说明,1. 叠加定理只适用于线性电路。,2. 一个电源作用，其余电源为零,电压源为零短路。,电流源为零开路。,三个电源共同作用,is1单独作用,=,+,us2单独作用,us3单独作用,+,3. 功率不能叠加(功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数)。,4. u,i叠加时要注意各分量的参考方向。,5. 含受控源(线性)
4、电路亦可用叠加，但叠加只适用于独立源，受控源应始终保留。,4. 叠加定理的应用,例1,求电压U.,12V电源作用：,3A电源作用：,解,例2,求电流源的电压和发出的功率,为两个简单电路,10V电源作用：,2A电源作用：,例3,计算电压u。,说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。,3A电流源作用：,其余电源作用：,例4,计算电压u电流i。,受控源始终保留,10V电源作用：,5A电源作用：,例5,封装好的电路如图，已知下列实验数据：,解,根据叠加定理，有：,代入实验数据，得：,研究激励和响应关系的实验方法,例6.,采用倒推法：设i=
5、1A。,则,求电流 i 。,RL=2 R1=1 R2=1 us=51V,解,5. 齐性原理（homogeneity property),齐性原理,线性电路中，所有激励(独立源)都增大(或减小)同样的倍数，则电路中响应(电压或电流)也增大(或减小)同样的倍数。,当激励只有一个时，则响应与激励成正比。,可加性 (additivity property)。,齐性原理（homogeneity property),齐次性（homogeneity property),线性性质,4. 2 替代定理 (Substitution Theorem),对于给定的任意一个电路，若某一支路电压为uk、电流为ik，那么这
6、条支路就可以用一个电压等于uk的独立电压源，或者用一个电流等于ik的 独立电流源，或用一R=uk/ik的电阻来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值(解答唯一)。,1.替代定理,证毕!,2. 定理的证明,+,例,求图示电路的支路电压和电流。,解,替代以后有：,替代后各支路电压和电流完全不变。,替代前后KCL,KVL关系相同，其余支路的u、i关系不变。用uk替代后，其余支路电压不变(KVL)，其余支路电流也不变，故第k条支路ik也不变(KCL)。用ik替代后，其余支路电流不变(KCL)，其余支路电压不变，故第k条支路uk也不变(KVL)。,原因,注：,1.替代定理既适用于线性电路，也适用于
7、非线性电路。,3.替代后其余支路及参数不能改变。,2. 替代后电路必须有唯一解,无电压源回路；,无电流源节点(含广义节点)。,？,？,例1,若要使,试求Rx。,3. 替代定理的应用,解,用替代：,=,+,U=U+U“=(0.8-0.6)Ix=0.2Ix,Rx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2,例2,试求I1。,解,用替代：,用叠加定理计算：,替代法,7V电压源单独作用,4A电流源单独作用,例3,已知: uab=0, 求电阻R。,解,用替代：,用结点法：,例4,2V电压源用多大的电阻置换而不影响电路的工作状态。,解,应求电流I，先化简电路。,应用结点法得：,例5,已知: uab=0, 求电阻R
8、。,解,用断路替代，得：,4.3 戴维宁定理和诺顿定理(Thevenin-Norton Theorem),工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的电压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说，电路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路), 使分析和计算简化。戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。,1. 戴维宁定理,任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压uoc，而电阻等于一端口的输入电阻（或等效电阻Req）。,2.定理的证明
9、,+,则,A中独立源置零,由表达式有,3.定理的应用,(1) 开路电压Uoc 的计算,等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源 短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的输入电阻。 常用下列方法计算：,（2）等效电阻的计算,戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开 路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。计算 Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计 算。,(1) 外电路可以是任意的线性或非线性电路（等效置换电路必须是线性），外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏-安特性等效)。,(2) 当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包含在被
10、化简的同一部分电路中。,注：,例1.,计算Rx分别为1.2、 5.2时的I；,解,保留Rx支路，将其余一端口网络化为戴维宁等效电路：,(1) 求开路电压,Uoc = U1 + U2 = -104/(4+6)+10 6/(4+6)= -4+6=2V,(2) 求等效电阻Req,Req=4/6+6/4=4.8,(3) Rx =1.2时，,I= Uoc /(Req + Rx) =0.333A,Rx =5.2时，,I= Uoc /(Req + Rx) =0.2A,求U0 。,例2.,解,(1) 求开路电压Uoc,Uoc=6I+3I,I=9/9=1A,Uoc=9V,(2) 求等效电阻Req,方法1：加压求
11、流,U0=6I+3I=9I,I=I06/(6+3)=(2/3)I0,U0 =9 (2/3)I0=6I0,Req = U0 /I0=6 ,方法2：开路电压、短路电流,(Uoc=9V),6 I1 +3I=9,由电路知： 3I+6I=0,I=0,Isc=I1=9/6=1.5A,Req = Uoc / Isc =9/1.5=6 ,独立源置零,独立源保留,(3) 等效电路,计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。,求负载RL消耗的功率。,例3.,解,求开路电压Uoc（由ab处断开）,(2) 求等效电阻Req,用开路电压、短路电流法,已知开关S,例4.
12、,求开关S打向3，电压U等于多少,解,2,任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以用一个电流源和电导(电阻)的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流（参考方向a指向b），而电导(电阻)等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导(电阻)。,4. 诺顿定理,诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到。诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明。证明过程从略。,例1,求电流I 。,(1) 求短路电流Isc,I1 =12/2=6A,I2=(24+12)/10=3.6A,Isc=-I1-I2=- 3.6-6=-9.6A,解,(2) 求等效电阻Req,Req =10/2=1
13、.67 ,(3) 诺顿等效电路:,应用分流公式,I =2.83A,例2,求电压U。,(1) 求短路电流Isc,解,本题用诺顿定理求比较方便。因a、b处的短路电流比开路电压容易求,(2) 求等效电阻Req,(3) 诺顿等效电路:,最大功率传输问题,一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的最大功率传输问题。,最大功率匹配条件,对P求导：（RL为变量）,最大输出功率,例,RL为何值时其上获得最大功率，并求最大功率。,(1) 求开路电压Uoc,(2) 求等效电阻Req,(3) 由最大功率传
14、输定理得:,时其上可获得最大功率,注,最大功率传输定理用于一端口电路给定,负载电阻可调的情况;,一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大功率时,电路的传输效率并不一定是50%;,计算最大功率问题结合应用戴维宁定理 或诺顿定理最方便.,4.4 特勒根定理(Tellegens Theorem),1. 特勒根定理1,任何时刻，对于一个具有n个结点和b条支路的集总电路，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足:,功率守恒,定理证明：,表明任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。,应用KCL:,支路电压用结点电压表示，（4为参考结点）,1. 特勒根定理2,任何时刻，
15、对于两个具有n个结点和b条支路的集总电路，当它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足:,拟功率定理,定理证明：,对电路2应用KCL:,图1支路电压用结点电压表示，（4为参考结点）,例1,(1) R1=R2=2, Us=8V时, I1=2A, U2 =2V,(2) R1=1.4 , R2=0.8, Us=9V时, I1=3A,求此时的U2 。,解,把（1）、（2）两种情况看成是结构相同(具有相同的图)，部分参数不同的两个电路，利用特勒根定理2,由(1)得： U1=4V (Us-R1I1), I1=2A, U2=2V, I2=U2/R2=1A,例2.,解,已
16、知： U1=10V, I1=5A, U2=0, I2=1A, U2 = 0,应用特勒根定理需注意：,（1）电路中的支路电压必须满足KVL;,（2）电路中的支路电流必须满足KCL;,（3）电路中的对应支路电压和支路电流必须满足关联参考方向；（否则公式中加负号）,（4）定理的正确性与元件的特征全然无关。,4. 5 互易定理(Reciprocity Theorem),互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。一个具有互易性的网络在输入端（激励）与输出端（响应）互换位置后，同一激励所产生的响应并不改变。具有互易性的网络叫互易网络，互易定理是对电路的这种性质所进行的概括，它广泛的应用于网络的灵敏度分析和测量
17、技术等方面。,1. 互易定理,对一个仅含电阻的二端口电路NR，其中一个端口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。,情况1,当 uS = 时，i2 =,则两个支路中电压电流有如下关系：,证明:,由特勒根定理：,即：,两式相减，得,将图(a)与图(b)中支路1，2的条件代入，即:,即：,证毕！,情况2,则两个支路中电压电流有如下关系：,当 iS = iS 时，u2 = u1,情况3,则两个支路中电压电流在数值上有如下关系：,当数值上： iS = uS 时，则数值上： i2 = u1,(3) 互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激
18、励下， 两个支路电压电流关系。,(1) 互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电源搬移；,(2) 同样激励，互易前后端口处的激励和响应的参考方向关 系保持一致（要么都关联，如情况1；要么都非关联，如 情况2)；不同样激励：一个端口关联，另一个端口非关 联，如情况3。,(4) 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。,应用互易定理分析电路时应注意：,例1,求(a)图电流I ，(b)图电压U。,解,利用互易定理,例2,求电流I 。,解,利用互易定理,I1 = I2/(4+2)=2/3A,I2 = I2/(1+2)=4/3A,I= I1-I2 = - 2/3A,例3,测得a图中u110V，u25V，
19、求b图中的电流I 。,解1,(1) 利用互易定理由a图知c 图的：,(2) 结合a图，知d 图的等效电阻：,戴维宁等效电路,(3)画b图戴维宁等效电路如右上图：,例3,测得a图中u110V，u25V，求b图中的电流I 。,解2,应用特勒根定理：,例4,问图示电路与取何关系时电路具有互易性。,解,在a-b端口加电流源，解得：,在c-d端口加电流源，解得：,I = IS,如要电路具有互易性，则：,一般有受控源的电路不具有互易性。,例5,图示线性电路，当A支路中的电阻R0时，测得B支路电压U=U1,当R时，UU2,已知ab端口的等效电阻为RA，求R为任意值时的电压U。,解,（2）应用替代定理：,（1
20、）应用戴维宁定理：,（3）应用叠加定理：,解得：,R任意：,例7,图a为线性电路，N为相同的电阻网络,对称连接,测得电流i1=I1, i2I2, 求b图中的i1,解,对图(c)应用叠加和互易定理,对图(c)应用戴维宁定理,=i1,4-6 对偶原理,对偶元素：将关系式中的元素（变量），若有对应关系可以彼此互换，这些互换元素称为对偶元素。 对偶原理：电路中某些元素之间的关系（或方程）用它们的对偶元素对应地置换后，所得的关系（或方程）也一定成立，后者和前者互为对偶。这就是对偶原理。,一、对偶元素,若把上述关系式中的u和i互换，R和G互换，r和g互换，则对应关系式可彼此转换。这些互换元素称为对偶元素。
21、所以“电压”和“电流”，“电阻”和“电导”，“CCVS”和“VCCS”，“r”和“g”等都是对偶元素。,二、对偶电路,1、串联电路和并联电路,可见，若把串联和并联互换，电压和电流互换，电阻和电导互换，则对应关系式可彼此转换。可见“串联”和“并联”也是对偶元素。,2.网孔电流和结点电压,三、结论 1、对偶定理电路中某些元素之间的关系（或方程）用它们的对偶元素对应的置换后，所得新关系（或新方程）也一定成立，后者和前者互为对偶，这就是对偶原理。 2、对偶原理的应用根据对偶原理，如果导出了某一关系式和结论，就等于解决了和它对偶的另一关系式和结论。对偶原理不局限于电阻电路，如电容和电感的伏安关系看出互为对偶元素。其他如“短路”和“开路”，“KCL”和“KVL”,“树支电压”和“连支电流”等分别互为对偶元素。 注意：“对偶”和“等效”是两个不同的概念，不可混淆。,
