1、时间序列分析试题 1 （ 1）给出 ),( qpARMA 模型的一般形式及其模型参数。 qtqtttptptttXXXX+= “22112211。 （ 2）若时间序列为 tX ，试给出其差分序列。 1ttXX 。 （ 3）设 )1,2(ARMA 为 1213.04.05.0+=tttttXXX ， 试给出其特征方程。 04.05.02= 。 （ 4）给出一阶自回归模型 )1(AR tttXX +=110 的特征跟和平稳域。 特征根为 = ，平稳域为 1| = 所以模型不可逆； （ 2） 14.12=+=+ ，所以模型不可逆。 16已知 )2(MA 为214.07.0+=ttttX ； （ 1）
2、计算自相关系数k （ 1k ）；（ 2）计算偏自相关系数kk （ 3,2,1=k ）。 解：（ 1） )4.07.0)(4.07.0(2121 +=ktktkttttkttkEXEX ， 222221065.1)1( =+= ，22211198.0)( =+= ，22224.0 = ，0=k （ 3k ）； 于是 59.065.198.0011= ， 24.065.14.0022= ， 0=k （ 3k ）； （2）因为0111 = ，所以 59.0111= ； 因为=2122210110，所以 17.00110211022= ； 因为=321333231012101210，所以 11.001
3、210121031220111033= 。 17对于 )1,1(ARMA 11110 +=ttttXX ， （ 1）试求模型的传递形式； （ 2）试求模型的逆转形式； （ 3）试求满足 )1,1(ARMA 之序列 tX 的均值和自协方差函数。 解： （ 1）所求传递形式为： =+=0kktktGX ， 其中 Green 函数 kG 满足：11011100=+=+ ttkktkkktkGG ，即： 10=G ，111011 = GG ， )(111111 =kkkGG （ 1k ） ，01 += ； 于是=+=1111110)(1kktkttX 。 （ 2）所求逆转形式为： =+=0kktktX
4、I ， 其中逆函数 kI 满足：=+=01110110kktkkktkttXIXIXX ，即： 10=I ，111011 = II ， )(111111 =kkkII （ 1k ） ， 100 += ； 于是=+=1111110)(1kktkttXX 。 （ 3）满足 )1,1(ARMA 之序列 tX 的均值为： 1011111101)(1 =+=kktkttEEEX ； 满足 )1,1(ARMA 之序列 tX 的自协方差函数为： )1)(1()0(1010=ttXXE )()()(1111111111 =+=jjtjtjjtjtE 2211121122122112112)(+=+=jj； )
5、1)(1()(1010=kttXXEk )()()(1111111111 =+=jjktjktjjtjtE =+=1221221121111)()(jkjk2211111112121211211111)1)(11)()(=+=kkk（ 1k ） 。 18设 ),0(2 WNt，=10tkkttX ； （ 1）试求序列 tX 的自相关函数 ),( ts ， （ 2）试求极限 ),(lim tst， （ 3）试证明序列 tX 不平稳。 解： （ 1）21010,min),cov(),cov(),( tsXXtstkktskksts=， sttsttsststs,min),(),(),(),( = ； （ 2） 0lim,minlim),(lim =tssttststtt ； （ 3） ),( ts 与 s 和 t 均有关，因此序列 tX 不平稳。
