1、必修四 平面向量,知识点梳理,知识网络,平面向量,加法、减法 数乘向量,坐标表示,两向量数量积,零向量、单位向量、共线向量、相等向量,向量平行的充要条件,平面向量基本定理,两向量的夹角公式,向量垂直的充要条件,两点的距离公式,解决图形的平行和比例问题,解决图形的垂直和角度,长度问题,向量的初步应用,向量定义：,既有大小又有方向的量叫向量。,重要概念：,（1）零向量：,长度为0的向量，记作0.,（2）单位向量：,长度为1个单位长度的向量.,（3）平行向量：,也叫共线向量，方向相同或相反 的非零向量.,（4）相等向量：,长度相等且方向相同的向量.,（5）相反向量：,长度相等且方向相反的向量.,一、
2、平面向量概念,几何表示,: 有向线段,向量的表示,字母表示,坐标表示,: (x，y),若 A(x1,y1), B(x2,y2),则 AB =,(x2 x1 , y2 y1),一、平面向量概念,向量的模（长度）,1. 设 a = ( x , y ),则,2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则,一、平面向量概念,1.向量的加法运算,A,B,C,AB+BC=,三角形法则,O,A,B,C,OA+OB=,平行四边形法则,坐标运算:,则a + b =,重要结论：AB+BC+CA=,0,设 a = (x1, y1), b = (x2, y2),( x1 +
3、x2 , y1 + y2 ),AC,OC,一、平面向量概念,2.向量的减法运算,1）减法法则：,O,A,B,2）坐标运算:,若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ),则a b=,3.加法减法运算律,a+b=b+a,（a+b)+c=a+(b+c),1）交换律：,2）结合律：,BA,(x1 x2 , y1 y2),一、平面向量概念,练习,O,O,return,4.实数与向量 a 的积,定义：,坐标运算：,其实质就是向量的伸长或缩短！,a是一个,向量.,它的长度 |a| =,| |a|；,它的方向,若a = (x , y), 则a =, (x , y),= ( x , y),一、平面
4、向量概念,则,结论: 设 表示与非零向量 同向的单位向量.,一、平面向量概念,向量垂直充要条件的两种形式:,二、平面向量之间关系,向量平行(共线)充要条件的两种形式:,三、平面向量的基本定理,如果 是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向 量 ，有且只有一对实数 使,5、数量积的主要性质及其坐标表示：,综上所述：原命题成立,解:,另解:可以试着将,说明：(1) 本题是个重要题型：设O为平面上任一点，则：A、P、B三点共线,或令 = 1 t， = t，则A、P、B三点共线 (其中 + = 1),(2) 当t = 时， 常称为OAB的中线公式(向量式),例5.,设AB=2(a+5
5、b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)， 求证：A、B、D 三点共线。,分析,要证A、B、D三点共线，可证,AB=BD关键是找到,解：,BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b,AB=2 BD, A、B、D 三点共线,例6.设非零向量 不共线，若 试求 k.,解：,由向量共线的充要条件得：,即,又 不共线,由平面向量的基本定理,解：设顶点D的坐标为（x，y）,例9. 已知A(2，1)，B(1，3)，求线段AB中点M和三等分点坐标P，Q的坐标 .,解：(1) 求中点M的坐标，由中点公式可知 M( ，2),(2) 因为 =(1，3)(2，1)=(3，2),例10.设A
6、(2, 3)，B(5, 4)，C(7, 10) 满足(1) 为何值时,点P在直线y=x上? (2)设点P在第三象限, 求的范围.,解: (1) 设P(x, y)，则(x2, y3)=(3, 1)+(5, 7),所以x=5+5，y=7+4.,解得 =,(2) 由已知 5+50,7+40 ,所以1.,例11（1）已知 =（4，3），向量 是垂直于 的单位向量，求 .,例14.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为（ ）A. B. C. D.解析 设a和b的夹角为， |a|cos=,C,解：,解,答案 C,A,B,C,A,B,C,P,解析,(2)由(1)可得f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1 =2(cos x- )2- . x ， cos x1， 当cos x= 时，f(x)取得最小值为- ； 当cos x=1时，f(x)取得最大值为-1.,反馈练习：,1.判断下列命题是否正确：（1）,（3）,（5）若 ，则对于任一非零 有,（4）,（2）,（6）若 ，则 至少有一个为,（7）对于任意向量 都有,（8） 是两个单位向量，则,（9）若 ，则,-6,(A) (-3,6) (B) (3,-6) (C) (6,-3) (D) (-6,3),( ),A,-1,
