1、吉林大学计算机科学与技术学院,1,孙舒杨 Email. ,模糊数学 第六讲,吉林大学计算机科学与技术学院,2,第三章模糊关系与聚类分析,吉林大学计算机科学与技术学院,3,聚类分析,所谓聚类分析(clustering)，就是用数学方法对事物进行分类 聚类vs.分类 模糊数学产生之前，聚类分析是数理统计多元分析的一个分支 现实分类问题具有模糊性，例如“环境污染分类”、“岩石分类”等 聚类分析是模糊关系的一个应用 什么是模糊关系？,吉林大学计算机科学与技术学院,4,3-1 模糊关系的定义和性质,吉林大学计算机科学与技术学院,5,什么是关系？,学生集合 U=张三，李四，王五 外语选修课程集合 V=英，
2、法，德，日 R= (张三, 英), (张三, 法), (李四, 德), (王五, 日), (王五, 英),吉林大学计算机科学与技术学院,6,关系例,U=毛泽东，邓小平，老布什 V=毛岸英，邓朴方，小布什 父子关系=(毛泽东,毛岸英), （邓小平,邓朴方), (老布什,小布什),吉林大学计算机科学与技术学院,7,“经典关系”的定义,定义：集合A,B的直积AB=(a,b)|aA,bB的一个子集R称为A到B的一个二元关系，简称关系,吉林大学计算机科学与技术学院,8,关系例,设X为横轴，Y为纵轴 直积XY是什么？ 其上的普通关系xy是什么？,吉林大学计算机科学与技术学院,9,关系模糊关系,“课程选择”
3、、“父子”明确的关系 客观世界中，并非所有的关系都这么明确 信任关系 喜爱关系,吉林大学计算机科学与技术学院,10,模糊关系的定义,以集合U,V的直积UV为论域 其上的一个模糊子集R称为U,V的一个模糊关系。若U=V ，则称为“U上的模糊关系R” 其隶属函数为： R ： UV 0,1,吉林大学计算机科学与技术学院,11,模糊关系例1,设X为横轴，Y为纵轴，直积XY是整个平面，其上的模糊关系R=“x远大于y”，怎么表示？,吉林大学计算机科学与技术学院,12,当x-y=1时， R(x,y)=0.0099 当x-y=10时， R(x,y)=0.5 当x-y=100时， R(x,y)=0.99,吉林大
4、学计算机科学与技术学院,13,模糊关系例2,吉林大学计算机科学与技术学院,14,吉林大学计算机科学与技术学院,15,模糊关系例2,X= Ross, Joey, Chandler Y= Monica, Phoebe, Rachel XY=(Ross, Monica), (Ross, Phoebe), (Ross, Rachel), (Joey, Monica), (Joey, Phoebe), (Joey, Rachel), (Chandler, Monica), (Chandler, Phoebe), (Chandler, Rachel) 模糊关系R1: 朋友关系 模糊关系R2: 恋人关系,吉
5、林大学计算机科学与技术学院,16,模糊关系例3,吉林大学计算机科学与技术学院,17,模糊关系的运算,模糊关系就是模糊子集 唯一特殊之处论域是直积UV 模糊关系的运算法则 完全服从模糊集合的运算法则,吉林大学计算机科学与技术学院,18,模糊关系的相等,设R,S都是XY上的模糊关系，则,吉林大学计算机科学与技术学院,19,模糊关系的包含,吉林大学计算机科学与技术学院,20,模糊关系的并,吉林大学计算机科学与技术学院,21,模糊关系的交,吉林大学计算机科学与技术学院,22,模糊关系的余,吉林大学计算机科学与技术学院,23,分解定理,吉林大学计算机科学与技术学院,24,截关系,吉林大学计算机科学与技术
6、学院,25,3-2 模糊矩阵,吉林大学计算机科学与技术学院,26,模糊关系模糊矩阵,论域 若论域XY是有限集，模糊关系可以表示为模糊矩阵 若论域XY是连续或无限的，则该论域上的(模糊)关系不能用(模糊)矩阵来表示 什么是模糊矩阵？,吉林大学计算机科学与技术学院,27,模糊矩阵的定义,如果对于任意i=1,2,m, j=1,2,n,都有rij0,1,则称矩阵R=(rij)mn为模糊矩阵。 若rij0,1, 则模糊矩阵变成布尔矩阵 模糊矩阵可以表示模糊关系,吉林大学计算机科学与技术学院,28,模糊矩阵例,U=苹果, 梨, 书, 乒乓球 ，它们的相似程度可以用模糊关系“相似” 来表示，记为R：,吉林大
7、学计算机科学与技术学院,29,请给出下例的模糊矩阵,吉林大学计算机科学与技术学院,30,矩阵与关系,一个模糊矩阵对应着什么？ 一个模糊关系 一个布尔矩阵对应着什么？ 一个普通关系,吉林大学计算机科学与技术学院,31,模糊矩阵与普通矩阵,矩阵元素 模糊矩阵的元素限制在0,1上 普通矩阵的元素没有限制 矩阵运算 模糊矩阵的运算完全不同与普通矩阵的运算 模糊矩阵运算是模糊集合的运算,吉林大学计算机科学与技术学院,32,模糊矩阵的相等、包含,设A、B为模糊矩阵，记A=(aij), B=(bij)，i=1,2,m,j=1,2,n, 则 (1)相等：A=B 对任意i,j 有 aij=bij (2)包含：A
8、B 对任意i,j 有 aijbij,吉林大学计算机科学与技术学院,33,模糊矩阵的交、并、余,设A、B为模糊矩阵，记A=(aij), B=(bij)，i=1,2,m, j=1,2,n, 则 (1)并：AB (aijbij)mn (2)交: AB (aijbij)mn (3)余: Ac (1-aij) mn,吉林大学计算机科学与技术学院,34,给出如下模糊矩阵运算结果,吉林大学计算机科学与技术学院,35,模糊矩阵的运算性质,1）幂等律：AAA , AA=A; 2）交换律：AB=BA, AB=BA; 3）结合律：(AB)C=A(BC), (AB)C=A(BC);,吉林大学计算机科学与技术学院,36
9、,模糊矩阵的运算性质,4）吸收律：A(AB)= A, A(AB)=A; 5）分配律: (AB)C=( AC)(BC), (AB)C= ( AC)(BC);,吉林大学计算机科学与技术学院,37,模糊矩阵的运算性质,（7）复原律：(Ac)c=A; （8）对偶律：(AB)c= AcBc,(AB)c= AcBc.,吉林大学计算机科学与技术学院,38,3-3 模糊关系的对称性与自反性,吉林大学计算机科学与技术学院,39,转置矩阵的定义,设R=(rij)mn,则称RT=(rji)nm为R的转置矩阵,吉林大学计算机科学与技术学院,40,转置矩阵转置关系,定义.设RF(UV),而RTF(VU) 则称RT为R的
10、转置关系，即(v,u)VU， RT(v,u)=R(u,v),吉林大学计算机科学与技术学院,41,转置关系例,设U=u1, u2, u3为三人集合，R表示U上的彼此熟悉关系，问R的转置关系RT是什么？,吉林大学计算机科学与技术学院,42,对称矩阵的定义,设R=(rij)mm,若R=RT，则称R为对称矩阵,吉林大学计算机科学与技术学院,43,是对称矩阵吗？,吉林大学计算机科学与技术学院,44,对称矩阵对称关系,若R表示从U=u1, u2,um到V =v1, v2,vm的模糊关系，并且 R(ui, vj)= R(uj, vi) 则称关系R为对称关系 若R是UU上的模糊关系，则R是对称关系 R(u,v
11、)=R(v,u),吉林大学计算机科学与技术学院,45,转置关系的性质1,2,吉林大学计算机科学与技术学院,46,转置关系的性质3,4,吉林大学计算机科学与技术学院,47,转置关系的性质5,吉林大学计算机科学与技术学院,48,性质5说明什么？,凡是包含R的对称矩阵都包含RRT RRT是包含R的最小对称矩阵 R的对称闭包 包含R的对称矩阵 被所有包含R的对称矩阵所包含 RRT是R的对称闭包,吉林大学计算机科学与技术学院,49,自反关系,若(u,u)UU, R(u,u)=1,则称R为U上的自反关系 自反关系对应的矩阵是自反矩阵,吉林大学计算机科学与技术学院,50,恒等关系,若(u,v)UV,下面等式
12、成立，则称I为恒等关系：,吉林大学计算机科学与技术学院,51,自反关系与恒等关系,吉林大学计算机科学与技术学院,52,3-4 截矩阵,吉林大学计算机科学与技术学院,53,截集截矩阵,模糊集合- 截集 模糊矩阵- 截矩阵,吉林大学计算机科学与技术学院,54,截矩阵的定义,定义：设给定模糊矩阵R=(rij)mn，对任意 0,1，称R=(rij () )为R的截矩阵，其中,吉林大学计算机科学与技术学院,55,截矩阵例,求模糊矩阵R在=0.5时的截矩阵,吉林大学计算机科学与技术学院,56,截矩阵的性质1,吉林大学计算机科学与技术学院,57,截矩阵的性质2,吉林大学计算机科学与技术学院,58,课堂作业(
13、3-1),吉林大学计算机科学与技术学院,59,课堂作业(3-2),吉林大学计算机科学与技术学院,60,课堂作业(3-3),吉林大学计算机科学与技术学院,61,内容回顾,普通关系模糊关系 有限论域上，布尔矩阵模糊矩阵 模糊关系（模糊矩阵）的运算,吉林大学计算机科学与技术学院,62,3-5 模糊关系的合成,吉林大学计算机科学与技术学院,63,经典关系的合成,X表示人群 兄弟关系Q：XX，父子关系R：XX，叔侄关系S：XX 问：Q,R,S这三个关系之间存在着什么关系？,吉林大学计算机科学与技术学院,64,叔侄关系,x,z存在叔侄关系（x是z的叔叔或伯伯）？ 存在一个y，y是x的兄弟，且y是z父亲 x
14、Sz存在yX,使xQy且yRz 称叔侄关系S是兄弟关系Q和父子关系R的合成，记为S=QR,吉林大学计算机科学与技术学院,65,关系合成的定义,设QP(UV),RP(VW), SP(UW) 若(u,w)S存在vV,使(u,v)Q且(v,w)R，则称关系S是由关系Q与关系R合成的，记作S=QR,吉林大学计算机科学与技术学院,66,合成关系的表示,关系Q和关系R的合成可以表示为若用特征函数来表示合成关系， QR(u,w)=?,吉林大学计算机科学与技术学院,67,经典关系合成模糊关系合成,设QF(UV),RF(VW),所谓Q与R的合成，就是从U到W的一个模糊关系，记作QR，其隶属函数为,吉林大学计算机
15、科学与技术学院,68,R2=？,若RF(UU),记R2 = RR Rn = Rn-1R,吉林大学计算机科学与技术学院,69,模糊关系的合成例1,设R1为XY上的模糊关系,其隶属函数满足设R2为YZ上的模糊关系,其隶属函数满足试求R1、 R2的合成。,吉林大学计算机科学与技术学院,70,例1的答案,把y当作变量，把x和z都当作常量,吉林大学计算机科学与技术学院,71,例1的答案,吉林大学计算机科学与技术学院,72,模糊关系的合成例2,设R为模糊关系“x远大于y”，其隶属函数如下，则合成关系RR是什么？ “x远远大于y” 试问其隶属函数是什么？,吉林大学计算机科学与技术学院,73,例2答案,吉林大
16、学计算机科学与技术学院,74,例2答案,同例1一样，首先把y作为变量，x和z均当作常量，画出对应的曲线,吉林大学计算机科学与技术学院,75,例2答案,求出交点的横坐标z* 求得交点的纵坐标，即为合成关系RR的隶属函数,吉林大学计算机科学与技术学院,76,模糊关系合成的矩阵表示,对于有限论域上的模糊关系，可表示称模糊矩阵 模糊关系的合成模糊矩阵的合成,吉林大学计算机科学与技术学院,77,模糊矩阵合成,吉林大学计算机科学与技术学院,78,吉林大学计算机科学与技术学院,79,模糊矩阵的乘积,吉林大学计算机科学与技术学院,80,模糊矩阵乘积vs.经典矩阵乘积,实数相乘“” 实数取小“” 实数相加“+”
17、 实数取大“”,吉林大学计算机科学与技术学院,81,请计算：计算RS,吉林大学计算机科学与技术学院,82,模糊关系合成的性质1,2,(1)结合律(QR)S=Q(RS) (2) 0-1律 0R=R0=0 IR=RI=R,吉林大学计算机科学与技术学院,83,模糊关系合成的性质3,4,(3) QR QSRSQR QmRm (4) 分配律（对分配） (QR)S=(QS)(RS) S(QR) =(SQ)(SR),吉林大学计算机科学与技术学院,84,请计算,吉林大学计算机科学与技术学院,85,模糊关系合成的性质,合成运算的交运算的分配律是否成立？ (QR)S=(QS) (RS),请思考,吉林大学计算机科学与技术学院,86,模糊关系合成的性质5,6,(5) (QR) = Q R 推论 (Rn) = (R)n(6) (QR) T= QT RT 推论 (Rn) T= (RT)n,吉林大学计算机科学与技术学院,87,课后作业,
