1、 第 1 页 共 5 页 2.1.1 参数方程的概念预习梳理1参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线 C 上任一点 P 的坐标 x 和 y 都可以表示为某个变量 t 的函数：_；反过来，对于 t 的每个允许值，由函数式所确定的点 P(x， y)_，那么方程 叫作曲线 Cx f（ t） ，y g（ t） ) x f（ t） ，y g（ t） )的_，变量 t 是参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出_的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程2关于参数的说明参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义3曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数 x
2、、 y 中的一个与参数 t 的关系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数 t 的关系，则所得的就是参数方程x f（ t） ，y g（ t） )预习思考以下表示 x 轴的参数方程的是( )A. (t 为参数) B. (t 为参数)x t2 1，y 0 ) x 0，y 3t 1)C. ( 为参数 ) D. (t 为参数 )x 1 sin ，y 0 ) x 4t 1，y 0 ), 预习梳理1. 都在曲线 C 上 参数方程 点的坐标间关系x f（ t） ，y g（ t） )预习思考D一 层 练 习1当参数 变化时，由点 P(2cos ，3sin )所确定的曲线过点( )A(2，3) B(1，5)C.
3、D(2，0)(0， 2)1D 2将参数方程 ( 为参数)化为普通方程是 ( )x 2 sin2 ，y sin2 )第 2 页 共 5 页 A y x2B y x2C y x2(2 x3)D y x2(0 y1)2.C 3在方程 ( 为参数)所表示的曲线上其中一个点的坐标是 ( )x sin2 ，y cos 2 )A(2，7) B. (13， 23)C. D(1，1)(12， 12)3.D4将参数方程 ( 为参数)化为普通方程是 _. x 1 2cos ，y 2sin )4( x1) 2 y245曲线 ( 为参数)经过点 ，则 a_. x 1 cos ，y 2sin ) (32， a)5 3二
4、层 练 习6若一直线的参数方程为 (t 为参数)，则此直线的倾斜角为 ( )x x0 12t，y y0 32t)A60 B120 C30 D1506B7参数方程 ( 为参数)表示的曲线是( )x cos2 ，y sin2 )A直线 B圆 C线段 D射线7.C8(2015湛江市高三(上)调考)直线 (t 为参数 )被圆 x2 y24 截得的x 2 12t，y 1 12t)弦长为_第 3 页 共 5 页 8命题立意：本题主要考查了直线的参数方程，以及直线和圆的方程的应用，考查计算能力，属于基础题解析：直线 (t 为参数)，x 2 12t，y 1 12t)直线的普通方程为 x y10，圆心到直线的距
5、离为 d ，12 22弦长2 .4 (222) 14答案： 149(2015惠州市高三第一次调研考试)已知在平面直角坐标系 xOy 中圆 C 的参数方程为： ( 为参数)，以 Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：x 3 3cos ，y 1 3sin ) cos 0，则圆 C 截直线所得弦长为_( 6)9解析：圆 C ( 为参数)表示的曲线是以点 ( ，1)为圆心，以 3x 3 3cos y 1 3sin ) 3为半径的圆，将直线 cos 0 的方程化为 x y0，圆心( ，1)到直线( 6) 3 3x y 0 的距离 d 1，故圆 C 截直线所得弦长为 2 4 .3|33 1|（ 3）
6、 12 32 12 2答案：4 210圆锥曲线 (t 为参数 )的焦点坐标是_ x t2，y 2t)10(1，0)三 层 练 习11在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系若极坐标方程为 cos 4 的直线与曲线 (t 为参数)相交于 A， B 两点，则x t2，y t3)|AB|_111612设曲线 C 的参数方程为 (t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点， x 轴x t，y t2)的正半轴为极轴建立即坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为_第 4 页 共 5 页 12 cos2 sin 013已知动点 P， Q 都在曲线 C： ( 为参数 )上，对应
7、参数分别为x 2cos ，y 2sin ) 与 2 (0 2)， M 为 PQ 的中点(1)求 M 的轨迹的参数方程；(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点13解析：(1)依题意有 P(2cos ，2sin )， Q(2cos 2 ，2sin 2 )，因此 M(cos cos 2 ，sin sin 2 )M 的轨迹的参数方程为 ( 为参数， 0 2)x cos cos 2 ，y sin sin 2 )(2)M 点到坐标原点的距离d (0 2)x2 y2 2 2cos 当 时， d0，故 M 的轨迹过坐标原点14边长为 a 的等边三角形 ABC 的两
8、个端点 A、 B 分别在 x 轴、 y 轴两正半轴上移动，顶点 C 和原点 O 分别在 AB 两侧，记 CAx ，求顶点 C 的轨迹的参数方程14解析： 如下图，过点 C 作 CD x 轴于点 D，设点 C 的坐标为( x， y)则由 得x OA AD，y DC， )( 为参数)，x acos(23 ) acos ，y asin )即为顶点 C 的轨迹方程1求曲线参数方程的主要步骤第一步 设点：画出轨迹草图设 M(x， y)为轨迹上任意一点的坐标，画图时注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系第二步 选参：选择适当的参数参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标( x， y
9、)与参数的关系比较明显，容易列出方程二是 x， y 的值可以由参数唯一确定例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为第 5 页 共 5 页 参数此外，离某一定点的“有向距离” ，直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数第三步 表示、结论：根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式证明可以省略2将参数方程化为普通方程时消去参数的常用方法(1)代入法先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程(2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数，例如对于参数方程如果 t 是常数， 是参数，那么可以利用公式 sin 2 cos 2 1x a(t 1t)cos ，y a(t 1t)sin ， )消参；如果 是常数， t 是参数，那么适当变形后可以利用( m n)2( m n)24 mn 消参
