1、数学建模信息创新 121 班18 刘聪 06 黄超电话：18840872355打孔机生产效能的提高摘 要本问题中，打孔机打完一个孔，不仅需要行进到下一个孔，还有可能需要转换刀具，使得打孔机打孔的成本受限制于行进成本和换刀具成本。若要求出最优解，可以通过枚举法，但由于数据量过大，显然枚举法行不通。经过分析，决定采用贪婪法来获得次优解，即以自顶向下的方式进行，以迭代的方式做出相应的贪心选择，每作一次贪心选择就将所求问题简化为规模更小的子问题。我们选择贪婪算法的原因，是因为此问题满足贪婪算法能够获得最优解的两个条件：一、贪婪选择性质，所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优解的选择，即贪心选择来达
2、到，从一点开始，每一次寻找距离此点最近的点，将两点连线，再以第二个点为基准，按这种思想寻找下一个点，依次将所有连起来，因为每一次都是取最短距离，因而所有点的连线也是最短的。二、最优子结构性质，本题中每一点寻找与之距离最近的点都会受到上一个点的影响，因为只有确定了上一级的点，才可能确定下一个点。另外，由于八种刀具转换时候即可以顺时针旋转，也可以逆时针旋转，因此在刀具转换过程中，要选择正确的旋转方向，以减少加工成本。同时，由于刀具在行进过程中，可以同时进行刀具，但相应费用不减。因此，为了提高生产效率，我们选择刀具一边行进，一边进行刀具转换，如果行进过程的时间小于刀具转换所需时间，则当打孔机达到目标
3、点的时候继续进行刀具转换。问题二:本问题中，打孔机在作业的时候，既要保证行进时间最短和作业成本最少，又要保证在过孔加工的任何时刻保持两钻头不小于 3cm。寻找一条最短路径相对容易些，但是要想时刻保证两钻头的距离不小于 3cm 则相对困难。为了保证打孔路线最优，经过研究，我们决定同样采用贪婪法解决双钻头打孔问题。同时，我们采用动态监测的方法，每隔一段时间（即钻头每行进 1mm 所对应的时间）检测每一个钻头在寻找下一个目标点的过程中与另外一个钻头的距离，以近似地满足两钻头合作间距。另外，为了避免两钻头相撞，我们假设两钻头同时寻找下一个目标点，即如果一个钻头先完成当前的作业，也必须等待另一个钻头完成
4、作业后，才能够共同寻找各自的下一个目标点。当我们计算出两钻头作业时的最优作业线路、行进时间和作业成本，通过简单的数学计算，即可以得出双钻头和单钻头作业的生产效能的差异。在求解双钻头作业时，由于需要时刻考虑作业间距，所以经过一定的分析，便可得出合作间距对作业路线和生产效能的影响。关键字：贪婪算法 生产效能 优化路径一、问题的提出过孔是印刷线路板（也称为印刷电路板）的重要组成部分之一，过孔的加工费用通常占制板费用的 30%到 40%，打孔机主要用于在制造印刷线路板流程中的打孔作业。打孔机的生产效能主要取决于以下几方面：（1）单个过孔的钻孔作业时间，这是由生产工艺决定，为了简化问题，这里假定对于同一
5、孔型钻孔作业时间都是相同的；（2）打孔机在加工作业时，钻头的行进时间；（3）针对不同孔型加工作业时，刀具的转换时间。目前，实际采用的打孔机普遍是单钻头作业，即一个钻头进行打孔。附件 1 提供了某块印刷线路板过孔中心坐标的数据，单位是密尔（mil）（也称为毫英寸，1 inch=1000 mil） ，请给出单钻头作业的最优作业线路（包括刀具转换方案） 、行进时间和作业成本。为提高打孔机效能，现在设计一种双钻头的打孔机（每个钻头的形状与单钻头相同） ，两钻头可以同时作业，且作业是独立的，即可以两个钻头同时进行打孔，也可以一个钻头打孔，另一个钻头行进或转换刀具。为避免钻头间的触碰和干扰，在过孔加工的任
6、何时刻必须保持两钻头间距不小于 3cm（称为两钻头合作间距） 。为使问题简化，可以将钻头看作质点。针对附件 1 的数据，给出双钻头作业时的最优作业线路、行进时间和作业成本，并与传统单钻头打孔机进行比较，其生产效能提高多少？研究打孔机的两钻头合作间距对作业路线和生产效能产生的影响。二、 基本假设1、假定对于同一孔型钻孔作业时间都相同。2、假定钻头的行进速度是相同，始终为匀速运动。3、假设在刀具转换时始终采取最小的成本，即能通过正确选择旋转方向，使得旋转次数最少。4、假设行进的时间仅仅只是特指钻头移动时的时间，与刀具转换的时间严格区分开。5、假设双钻头作业中，两钻头可以同时作业，且作业是独立的，即
7、可以两个钻头同时进行打孔，也可以一个钻头打孔，另一个钻头行进或转换刀具。6、假设双钻头作业中，钻头可以看作质点。7、假设两钻头同时寻找各自的下一个目标点，即如果一个钻头先完成当前的作业，也必须等待另一个钻头完成作业后，才能够共同寻找各自的下一个目标点。三、符号的说明1、i、j:孔经过处理后的编号，i、j=1，2，32814；2、JULI(i，j)：编号为 i 的孔到编号为 j 的孔的距离。3、DAOJU(i、j)：编号为 i 的孔所用刀具转换到编号为 j 的孔所用刀具的转换次数。4、QUAN(i，j)：编号为 i 的孔与编号为 j 的孔之间的权。四、模型的建立与求解4.1 模型分析4.1.1
8、问题一：本问题中，打孔机打完一个孔，不仅需要行进到下一个孔，还有可能需要转换刀具，使得打孔机打孔的成本受限制于行进成本和换刀具成本。若要求出最优解，可以通过枚举法，但由于数据量过大，显然枚举法行不通。经过分析，决定采用贪婪法来获得次优解，即以自顶向下的方式进行，以迭代的方式做出相应的贪心选择，每作一次贪心选择就将所求问题简化为规模更小的子问题。我们选择贪婪算法的原因，是因为此问题满足贪婪算法能够获得最优解的两个条件：一、贪婪选择性质，所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优解的选择，即贪心选择来达到，从一点开始，每一次寻找距离此点最近的点，将两点连线，再以第二个点为基准，按这种思想寻找下一个
9、点，依次将所有连起来，因为每一次都是取最短距离，因而所有点的连线也是最短的。二、最优子结构性质，本题中每一点寻找与之距离最近的点都会受到上一个点的影响，因为只有确定了上一级的点，才可能确定下一个点。另外，由于八种刀具转换时候即可以顺时针旋转，也可以逆时针旋转，因此在刀具转换过程中，要选择正确的旋转方向，以减少加工成本。同时，由于刀具在行进过程中，可以同时进行刀具，但相应费用不减。因此，为了提高生产效率，我们选择刀具一边行进，一边进行刀具转换，如果行进过程的时间小于刀具转换所需时间，则当打孔机达到目标点的时候继续进行刀具转换。4.1.2 问题二:本问题中，打孔机在作业的时候，既要保证行进时间最短
10、和作业成本最少，又要保证在过孔加工的任何时刻保持两钻头不小于 3cm。寻找一条最短路径相对容易些，但是要想时刻保证两钻头的距离不小于 3cm 则相对困难。为了保证打孔路线最优，经过研究，我们决定同样采用贪婪法解决双钻头打孔问题。同时，我们采用动态监测的方法，每隔一段时间（即钻头每行进 1mm 所对应的时间）检测每一个钻头在寻找下一个目标点的过程中与另外一个钻头的距离，以近似地满足两钻头合作间距。另外，为了避免两钻头相撞，我们假设两钻头同时寻找下一个目标点，即如果一个钻头先完成当前的作业，也必须等待另一个钻头完成作业后，才能够共同寻找各自的下一个目标点。当我们计算出两钻头作业时的最优作业线路、行
11、进时间和作业成本，通过简单的数学计算，即可以得出双钻头和单钻头作业的生产效能的差异。在求解双钻头作业时，由于需要时刻考虑作业间距，所以经过一定的分析，便可得出合作间距对作业路线和生产效能的影响。4.2.模型的建立4.2.1 对于问题一：首先，我们引进最短路问题中的“权”的概念，而这个权由以下两个部分构成，其一是钻头的行进成本，其二是刀具的转换成本。则任意两点间的权为：QUAN(i,j)=2.1*DAO(i,j)+60*JULI(i,j)其次，对孔进行处理。对于需要 N（N1）把刀具以上才能加工完成的孔看成坐标重合但使用道具不同的 N 个单刀具加工点，这 N 个点之间的权则仅仅只是由道具转换的费
12、用构成。通过这样的处理，可以将原来给定的孔拆分为 2814个单刀具孔，具体的处理可见 附件 1：数据 。最后，过程控制。任意选中其中的一个点进行打孔（本模型中，下文涉及到的孔均是指经过处理的单刀具孔），通过比较剩余未完成孔到源点孔的权的大小，选择其中权最小的孔作为下一个要完成的孔。完成第二个孔后，以此点为源点，重复上述操作。对于需要一把刀具以上共同加工才能完成的孔型，在计算最小权的过程中，需要考虑刀具加工顺序问题。如果为 D、F 型孔，则对刀具加工次序没有要求，在求最小权的过程中，程序上不需要加任何限制，只需将孔进行处理。如果为C、E、G、I、J 型孔，则对刀具的加工顺序有要求，可以用程序进行
13、判断，例如某 C 型孔需要两把刀具完成（先使用 a 刀具，后使用 c 刀具），如果从上一孔到使用刀具 a 打该孔的权为 W，从上一孔到使用刀具 c 打该孔的权为 Q，从上一孔到除了该孔之外的孔最小权的为 Z。如果 WQZ，则使用刀具 a 进行打该孔；如果 QWZ,则还是使用刀具 a 进行打该孔，打完之后再以该孔为参照点，寻找下一个距离该孔权最小的点；如果 QZW,则先打权为 Z 的孔，打完该孔之后，同样以该孔为参照点，寻找下一个距离该孔的权最小的点。由于我们每打一个点都是选择相对于该孔权最小的孔进行打孔，所以能够确保我们所打的所有孔，最终所需的成本最低，满足打孔机的经济性要求。4.2.2 对于
14、问题二：如下图：首先，我们随机选取两个相距 3cm 以上的点进行打孔，待两个孔都完成相应作业后，每一个钻头分别按照单钻头寻迹的方法(即贪婪法寻迹)寻找下一个目标点然后，为了保证两钻头的合作间距，我们每隔一定时间对两钻头的距离进行动态检测来代替连续检测，程序实现见 附录 3。这种替代是可行的，现证明如下：两钻头之间的距离主要有以下几种：始终不变，逐渐减小，逐渐增大，先减小后增大再减小。对于第一种情况，我们只需检测一次两点间距离即可。对于第二种情况，我们只需检测末端两点之间的距离即可。对于第三种情况，我们检测起始端两点之间的距离即可。对于第四种情况，主要有以下两种可能：图一：其中 AB=BC,AD
15、=BD,BE=CE,DF=HE=1mm图二：其中 CD=1cm在图一中，容易证得 DE 为两钻头之间最短的距离，因为 DF 和 HE 均为1mm，所以在程序中，我们只要检测 FH 大于 31mm,则 DH 必然大于 30mm,又因为DE 大于 DH,所以 DE 大于 30mm,故可以保证钻头行进过程中，两钻头之间的距离始终大于 3cm。在图二中，在程序中，AD 为两钻头之间最小距离，因此我们只需检测 AC 大于 31mm,则可以根据三角形两边之差小于第三边的定理，得出 AD大于 30mm。从而保证钻头行进过程中，两钻头之间的距离始终大于 3cm.。4.3、算法的设计4.3.1 对于问题一：采用
16、贪婪法的思想，对多刀具孔进行处理，运用 matalab 编程求解，在程序中设定相应的刀具先后限定条件。通过程序循环可以求出以每一个点为起始点的最优作业路线解，最后比较选择最优作业路线中的最优解。但由于数据量大，计算机运行速度缓慢，因而仅仅只求出以编号为“1”的点为起始点的最优作业路线。程序的求解过程，见 附录 2。该算法的程序流程图如下：否是否是是否将 j 点从未打点集合中除去，同时按顺序放入已打点集合判断 j 是否为有方向的末点开始输入起始点 K在未加工的点中查找QUAN(k ,j)判断 j 点的约束点是否加工过判断未打点集合是否为空集输出已打点集合结束在未打点集合中查找次最小QUAN(k,
17、 j)4.3.2 对于问题二：基于对问题而提出的假设，根据贪婪法思想运用 matlab 编程(程序可见附录 4)，实现查找钻头 1，钻头 2 的分别分别从编号为“1” “2”的点开始作业的最优作业路线，程序流程图如下：开始输入起始点 i, j查找权最小且符合加工先后顺序要求的点 m,k判断 i-m,j-k 在刀具加工孔过程中是否满足3cm 要求将点 m,k 分别放入两个集合，且将 m,k 从未打孔孔集合中除去判断点是否全部加工完成输出结果结束查找满足加工先后顺序且权次最小的点 n,l让 m、n、k、l 与 i、j 组合，判断是否存在两权之和最小且满足线性要求的组合不存在否否是是存在五、模型结果
18、（1） 、模型一的结果：最优作业路线可见 附录 5，对应数据处理表便能得到道具转换方案。行进时间为：总距离 689.48（米）/0.18（米/秒）=3830.5（秒） 。总费用为：46592（元）（2） 、模型二的结果：钻头 1，2 的最优作业路线见 附录 6. 对应数据处理表便能得到道具转换方案。行进时间为：3121.0（秒）费用为：钻头 1 的费用为：25057（元）钻头 2 的费用为：21628（元）总费用为：46685（元）从我们随机选定的起点来看，双钻头总费用不比单钻头低，但作业时间可以大大减少。如果要精确比较用贪婪法求解的单钻头费用和双钻头费用高低问题，那么需要选定多组起点，然后分
19、别得出单钻头最低费用和双钻头最低费用进行比较，从而可以得出以下结论，但由于数据较多，如要运行所有可能的起点程序，计算机需要一定的时间，因而这里只是给出固定起点（即单钻头以“1”号点为起点，双钻头以“1” “2”为起点）的数据比较。双钻头合作距离影响：合作距离越大，则双钻头费用越大。由于本题采用有限定条件的贪婪法，若限定条件（合作距离）越大，那么程序在执行时，为了满足限定条件，就可能放弃最小权而去选择次最小权，这样会使总体的费用增大。钻头合作距离在远小于任意两孔间的平均距离时，合作距离对费用的影响不明显，例如合作距离在 3cm 和 10cm，通过执行程序，最后计算的费用相差不大。钻头合作距离大于
20、任意两孔间距离时，合作距离对费用的影响则会很大。六、模型的评价模型优点：1 快速性 每次加工孔时都选择费用最低的孔加工，因而能很快的找到一条最优的作业路线，使得费用最低。2 实用性贪婪算法具有良好的爬坡能力，一般情况下该算法都可以较快地求出满足计算精度要求的近似最优解，当算法不能在限定的计算时间内找到满足问题要求的近似最优解时，给出一个可行解及计算误差，作为决策参考。特别对于此题，数据量大时，那么可以简化模型，更容易，更简便的选择最优解。3 简洁性具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果简单明确，容易被了解和掌握。模型不足：本模型采用贪婪算法，并不从整体最优考虑,它所做出的选择只是在某种意义上的局部最优选择,即在当前看来最好的选择。希望通过每次所做的贪婪选择导致最终结果是问题的一个最优解。但是随着问题规模和复杂度的不断提升，单一的算法在其收敛性和求解速度等方面已经表现出局限性。针对第二问，由于程序不够完善，可能会限入死循环，这是要改进的地方。六、参考文献1张燕，张志耀，赵喜清，生瓷带打孔机打孔路径的优化设计，2011.032陈薇薇，王忠民，基于图论的工程成本平衡算法，2002.063仲盛，周笑波，谢立，一个改进的较佳路径求解算法，2010.06
