1、6.特征向量的应用 学案 （新人教 A 版选修 4-2）一. 的简单表示nA【探究 1】关于 x 轴的反射变换 的坐标公式为：相应的二阶矩阵为 A矩阵 A 的特征值为：对应于每个特征值的特征向量为：试研究对特征向量作了 n 次变换后的结果：【定义】设矩阵 A ， 是矩阵 A 的属于特征值 的任意一个特征向量，则 abcdnA（ ）*nN【探究 2】设探究 1 中的两个特征向量为 、 ，因为这两个向量不共线，所以平面上任意一个向12量 可以用 、 为基底表示为：2试研究 的值。nA【性质 1】设 、 是二阶矩阵 A 的两个不同特征值， 、 是矩阵 A 的分别属于特征值 、2 12 1的特征向量，
2、对于平面上任意一个非零向量 ，设 ，则 12tn12nntt【应用】1. 【P 76 1、2】2.人口迁移问题课本 P73【第五讲.作业】1.求矩阵 A 的特征值及其对应的所有特征向量。0a2.设 是矩阵 A 的一个特征值，求证： 是 的一个特征值。 若 。求证 A2A2的特征值为 0 或 1。3.设 是矩阵 A 的属于特征值 的一个特征向量，求证： 是 的属于特征值 的一个nAn特征向量。【42 综合作业】一、选择题1.设矩阵 A ，B ，若 AB，则 x 的值为（ ）2190x259xabA.3 B.9 C.-3 D.32.矩阵 的逆矩阵为 （ ）1A. B. C. D. 0101013.
3、矩阵 A ， ，则 （ ）23123vAvA.5 B. C.25 D.1004.在矩阵 对应的线性变换作用下，椭圆 对应的曲线为 21214xy（ ）A. B. C. D. 2xy216xy2xy216xy5.关于矩阵乘法，下列说法正确的是 （ ）A.不满足交换律，但满足消去律 B. 不满足交换律和消去律C.满足交换律，但不满足消去律 D. 满足交换律和消去律6.下列矩阵对应的变换可以把直线 变为一个点的是 （ ）1yxA. B. C. D. 11007.是可逆二阶矩阵，且 ，则 的特征值为 （ ）2AA.0 B.1 C.1 D.0 或 18.矩阵 对应的变换把矩形 （ ， ）变为 32xij
4、103x21x（ ）A.正方形 B.平行四边形 C.三角形 D.一般四边形二、选择题9. 2acbd10. 1021011.设 ，若存在非零向量 使得 ，则 4mA012.坐标平面内某种线性变换将椭圆 的焦点变到直线 上，则该变换对应21yx2yx的矩阵 中的 a、b、c、d 应满足关系为 c13.已知 a、b、c 为实数，A、B、C 为二阶矩阵，通过类比得出下列结论:“若 a=b,则 ac=bc”，类比“若 A=B,则 AC=BC”；“若 ac=bc，且 ，则 a=b”,类比“若 AC=BC，且为非零矩阵，则” ；0“若 ab=0,则 a=0 或 b=0”类比“若 AB= ,则 或 ”；“若
5、000，则 ”类比“若 ，则 ”。其中不正确的为 20a2A00三、解答题14.解二元一次方程 ；求满足 的二阶矩阵 。312xy1X23121X15.设 ，求的特征值及所有的特征向量。324116.已知矩阵 ，向量 ，求 。12534163A17.若 ，求 的最值。cosin2()3fx18.若某种线性变换把向量 ， ，分别变为向量 ， ，求：123b2451b该变换对应的矩阵；线段 （2x1）在该变换下所得曲线的方程。yCAABB ABB 9.2ad-2bc 10. 11.-2 12.d=2b 13. 14. 、1234 9515. 或 16. 17. 18. 453,02k5,0k49520,4、312451712()44yxx
