高等数学二.doc

1、高等数学（二）- 1 -第一章 函数、极限和连续第一节 函 数一、函数的概念1. 函数的定义 （了解）设在某个变化过程中有两个变量 和 ，变量 随变量 的变化而变化。当变量 在一个非空xyxx实数集合 上取某一个数值时，变量 依照某一对应规则 总有唯一确定的数值与之对应，则称Df变量 是变量 的函数，记为 ，其中 叫做自变量， 叫做因变量或函数。yxD)( )f y数集 称为这个函数的定义域，记为 或 。f当 取定值 时所对应的 的数值 或 ，称为当 时，函数0y00|0xy0的函数值。)(xfy全体函数值的集合 称为函数 的值域，记为 或 。xf),(| )(fZ)(f2.分段函数 （了解）

2、函数不能用一个统一的公式表示出来，必须要用两个或两个以上的公式来表示，这类函数称为分段函数。形如： Dxgfy21 )(例如： 1 ,32就是定义在 内的分段函数。 ,3.隐函数 （了解）函数 与自变量 的对应规则用一个方程 表示的函数，称为隐函数。yx0),(yxF例如 就是一个隐函数。0424.反函数 （了解）二、函数的简单性质1.函数的单调性 （了解）设函数 在区间 内有定义，如果对于 内的任意两点 ，)(xfyb ,ab ,a21x若恒有 ,则称 在区间 内单调增加；21)(xf ,若恒有 ,则称 在区间 内单调减少；若恒有 ,则称 在区间 内严格单调增加；)(ff ,若恒有 ,则称

3、在区间 内严格单调减少。21x)(fba2.函数的奇偶性： （了解）设函数 的定义区间 D 关于原点对称（即若 ，则有 ） 。如果对)(fy Dxx于定义区间内的任意点 ，恒有 ，则称 为 D 内的偶函数；如果恒有x)(fxf)(f，则称 为 内的奇函数。 )(xff偶函数： )(f奇函数：高等数学（二）- 2 -3.函数的周期性 （了解）周期函数： ，)(xfTf ,周期：T最小的正数4.函数的有界性 （了解），Mxf)(),(ba三、基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n , (n 为实数)3.指数函数： (a0、a1)xya4.对数函数： ,(a0

4、、a1)log5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon xy=arctan x, y=arccot x四、复合函数和初等函数1.复合函数(x)u ,)(fyX2.初等函数 （了解）由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数第二节 极 限一、极限的概念1.数列的极限: 定义 对于数列 ，如果当 时，数列 无限地趋于一个固定的常数 A，则称 n 趋于无nxnx穷大时，数列 以常数 A 为极限，或称数列 收

5、敛于 A，记作或 （当 时）nlimn称数列 以常数 A 为极限 ;或称数列 收敛于 A.nxx定理: 若 的极限存在 必定有界.n2.函数的极限：当 时， 的极限：x)(xf AxfAfx )(limli高等数学（二）- 3 -当 时， 的极限：（重点）0x)(xfAlim左极限： fx)(li0右极限： 函数极限存在的充要条件： AxffAxf xx)(lim)(li)(li 000二、无穷大量和无穷小量1、无穷大量： )(lif称在该变化过程中 为无穷大量。xX 在某个变化过程是指：,x0002、无穷小量： )(limxf称在该变化过程中 为无穷小量。3、无穷大量与无穷小量的关系：定理：

6、 )0(,)(1li0)(li xfxfxf4、无穷小量的比较： ,若 ,则称 是比 较高阶的无穷小量；lim若 （c 为常数） ，则称 与 同阶的无穷小量；若 ，则称 与 是等价的无穷小量，记作：；1li若 ,则称 是比 较低阶的无穷小量。定理：若： ；， 21则： 12limli三、夹逼性定理1、数列极限存在的判定准则：设： （n=1、2、3）zxynn且： alili则： nm2、函数极限存在的判定准则：设：对于点 x0 的某个邻域内的一切点（点 x0 除外）有： )()(xhfg高等数学（二）- 4 -且： Axhgx)(lim)(li00则： f四、极限的运算规则（重点）若： Bxv

7、xu)(li,)(li则： BAxvu)(li vlimlilim BAxvu)(lim)(li )0(lixv推论： )()(li21xunlilixun lic nn)(li)(五、两个重要极限（重点）1 或1silm0x1)(sil0)(xx2 e)(i exi第三节 连 续一、函数的边续性1、函数在 处连续0x定义 1 设函数 在点 的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量 趋于 0)(f0x ()x时，相应的函数该变量 也趋于 0，即0()yfx，)(limli0 xffx则称函数 在点 处连续。)(xf0定义 2 设函数 在点 的某个邻域内有定义，如果当 时，函数 的极限值存在，0

8、()fx且等于 处的函数值 ，即0()f )(li00xfx则称函数 在点 处连续。)(xf02、左连续、右连续定义 设函数 ，如果 ，则称函数 在点 处左连续；()yf)(lim00fx ()f0x设函数 ，如果 ，则称函数 在点 处右连续。 x3、函数在 处连续的必要条件：0x定理： 在 处连续 在 处极限存在)(f)(xf04、函数在 处连续的充要条件：定理： )(limlilim00000 xfffff xxx 5、函数在 上连续ba,高等数学（二）- 5 -定义 如果函数 在 上每一点都连续，则称 在 内连续。如果 在)(xf,ab)(xf,ab)(xf内连续，且在左端点 处 右连续

9、，即 ；在右端点 处 左(,)ab)(flimax连续，即 ，则称函数 在 上连续。)(limfbx,二、函数的间断点若 在 处不连续，则 为 的间断点。)(f00x)(f间断点有三种情况：1o 在 处无定义；x2o 不存在；)(li0f3o 在 处有定义，且 存在，但 。)(lim0xf)(li00xfx三、函数在 处连续的性质0x1、连续函数的四则运算设 ，)(lim0fx)(li00xgx1o fg2o )()(li 00fx 3o 00xflim0xg2、复合函数的连续性（了解）)(),(),(fyufy )()(lim),(li 0000 xfuxxux 则： lilim00 xfx

10、3、反函数的连续性（了解）)(),(),( 01fyffylili 11000 yx 四、函数在 上连续的性质,ba1、最大值与最小值定理：在 上连续 在 上一定存在最大值与最小值。)(xf)(xf,ba2、有界定理：在 上连续 在 上一定有界。,3、介值定理：在 上连续 在 内至少存在一点)(xfba),(，使得： ， 0f cf)(其中： Mcm推论（零点定理）：在 上 连 续 ， 且 与 异 号)(xf,)(afbf在 内 至 少 存 在 一 点 c， 使 得 ： 。ba)(4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的。高等数学（二）- 6 -第二章 一元函数微分学第一节 导数

11、与微分一、导数的概念1导数的定义定义 设函数 在 的某个邻域内有定义，当自变量 在 处取得增量 （点 仍()yfx0 x0x0x在该领域内）时，相应地函数 y 取得增量 。如果当 时，函数的增0()(yff量 与自变量的增量 之比的极限000limlixxx存在，则称此极限值为函数 在 处的导数，并称函数 在 处可导，记作()yf ()f0x， ，00|xy0xd即 。00()()lixfxff由于 ，则 ，当 时也即 ，于是上式又可写成x000()()limxff2左导数与右导数左导数： 00()()lixff右导数： 00xx定理： 在 的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在；()f

12、则： （或： ）0lim()xf0()lim()xff3.函数可导的必要条件：定理： 在 处可导 在 处连续()ff04. 函数可导的充要条件：定理： 存在 ， 0)xyf()xf二、求导法则1、基本求导公式：（1） （ 为常数） ()c（2） （ 为任意常数，只要掌握 为整数）1x（3） ， lnxa(0,)a()xe（4） ， (log)e11lnx（5） （6）sics (cos)i（7） （8）21(tan)x 2t高等数学（二）- 7 -（9） （10）21(arcsin)x(1)x21(arcos)(1)xx（11） （11）tt2、导数的四则运算： 1o )uv（2o uv（3o

13、 2(0)3、复合函数的导数：(),(),yfuxyfx，或 dx()x注意 与 的区别：()f()f表示复合函数对自变量 求导；x表示复合函数对中间变量 求导。 ()4、隐函数的导数5、高阶导数： (3)(),(,fxff或()124nnf函数的 n 阶导数等于其 n-1 导数的导数。三、微分的概念1、微分： 在 的某个邻域内有定义，()fx)yAo其中： 与 无关， 是比 较高阶的无穷小量，即：(x0()limxo则称 在 处可微，记作：()fxdyA(0)2、导数与微分的等价关系：定理： 在 处可微 在 处可导，且()fxfx()fxA3、微分形式不变性：dyu不论 u 是自变量，还是中

14、间变量，函数的微分 都具有相同的形式。dy第二节 洛必达（LHospital ）法则洛必达法则 （重点） 1、 “ ”型不定式0定理： 和 满足条件：()fxg； 0limali()0xa高等数学（二）- 8 -在点 a 的某个邻域内可导，且 ；02()0gx3()lim,xfAg（ 或 ）则： ()lili,()xaxaffg（ 或 ）2、 “ ”型不定式定理： 和 满足条件：()fx； 01limali()xag在点 a 的某个邻域内可导，且 ；2()0x03()li,xfA（ 或 ）则： ()()lili,xaxaffgg（ 或 ）注意：1 o 法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数

15、之比的极限。2o 若不满足法则的条件，不能使用法 则。即不是 型或 型时，不可求导。03o应用法则时，要分 别对分子、分母求 导，而不是对整个分式求导。4o 若 和 还满足法则的条件，()fxg可以继续使用法则，即：()()()limlilimxaxaxaffAg （ 或 ）5o 若函数是 型可采用代数变0,形，化成 或 型；若是 型可01,采用对数或指数变形，化成 或 型。第三节 导数的应用1 切线方程和法线方程设： 0(),)yfxMy切线方程为： 0()fx法线方程为： 0 01,()fx2 曲线的单调性：（1） 在 内单调增加()(,) )fxabf,ab（2） 在 内单调减少(高等数

16、学（二）- 9 -（3） 在 内严格单调增加 ()0(,) (x)fxabf,ab（4） 在 内严格单调减少3.函数的极值：极值的定义：设 在 内有定义， 是 内的一点；若对于 的某个邻域内的任意点 ，都有：()fx,ab0x(,)ab0x0x0()(ffxff或则称 是 的一个极大值（或极小值） ，0()ff称 为 的极大值点（或极小值点） 。x极值存在的必要条件：定理： 000()()()ffxf存 在 极 值存 在称为 的驻点xf极值存在的充分条件：定理一： 000()()fxfxff在 处 连 续 是 极 值 ；或 不 存 在 是 极 值 点 。过 时 变 号当 渐增通过 时， 由（+

17、）变（） ；则 为极大值；x0()0()f当 渐增通过 时， 由（）变（+） ；则 为极小值。fxx定理二： 00()()ff是 极 值 ；存 在 是 极 值 点 。若 ，则 为极大值；0()fx0()fx若 ，则 为极小值。注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。4曲线的凹向及拐点：若 ；则 在 内是上凹的（或凹的） ， （） ；(),fxab(),fxab()fx,ab若 ；则 在 内是下凹的（或凸的） ， （） ；0,(,) 00()()f fxx称过 时 变 号 为 的 拐 点5 曲线的渐近线：水平渐近线：lim()()xfAyf若 是的 水 平 渐 近 线或铅直渐近线： li

18、()()xCfxCf若 是的 铅 直 渐 近 线或高等数学（二）- 10 -第三章 一元函数积分学第一节 不定积分一、重要的概念及性质1原函数：设 (),fxFxD若： 则称 是 的一个原函数，并称 是 的所有原函数,()C()f其中 C 是任意常数。2不定积分：函数 的所有原函数的全体，称为函数 的不定积分；记作：()fx()fxdFC其中： 称为被积函数； 称为被积表达式； 称为积分变量。f()fx3. 不定积分的性质： ()()fxdf或： xd ()()ffC或： dx 12()()nffxd2()nfx (k 为非零常数)()(kfxdf4.基本积分公式：高等数学（二）- 11 -二

19、、换元积分法第一换元法：（又称“凑微元”法） （重点）()fxd()fxd凑 微 元()()txtFtC令 ()tx回 代常用的凑微元函数有：1o 1)dxadb(,0)a为 常 数 ，2o 1)(mmmxxb（ 为 常 数 ）3o 1()xxxeddaeb(),0,1)lnxxada4o 1ln高等数学（二）- 12 -5o sin(cos)(sin)dxxdx22sec(tan)cs(cot)dxxdx6o 21arinarco1rar2.第二换元法：()()xtfdfdt令 ()()tfdxFtC11()tFxC反 代第二换元法主要是针对含有根式的被积函数，其作用是将根式有理化。一般有以

20、下几种代换：1o ,0nxtt为 偶 数 时(当被积函数中有 时)nx2o 2si,(cos,aat或(当被积函数中有 时)23o 22t,t,0,()xtt或(当被积函数中有 时)2x4o 22sec,(cs,atattt或(当被积函数中有 时 )2三、分部积分法 （重点）1. 分部积分公式：udvvduxx2.分部积分法主要针对的类型： ()sin,()cosPdPd xe ()l arcsin,()arcosdxd()ttPxP i,aaxebeb其中： （多项式）10()nn3.选 u 规律：在三角函数乘多项式中，令 ，其余记作 dv;简称“三多选多” 。()xu在指数函数乘多项式中，

21、令 ，其余记作 dv;简称“指多选多” 。P在多项式乘对数函数中，令 ，其余记作 dv;简称“多对选对” 。l在多项式乘反三角函数中，选反三角函数为 u，其余记作 dv;简称“多反选反” 。在指数函数乘三角函数中，可任选一函数为 u，其余记作 dv;简称“指三任选” 。四、简单有理函数积分高等数学（二）- 13 -1. 有理函数： ()PxfQ其中 是多项式。()x和2. 简单有理函数： 2(),11xff ()()Pxab 2)f第二节 定积分一、重要概念与性质1、定积分的定义： 101()(),limnbiiiaxifdfxx定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。定积分的几何意义：是介于

22、 x 轴，曲线 y=f(x),直线 x=a,x=b 之间各部分面积的代数和。x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号。 定积分存在定理： (),yfab设 ：若：f(x) 满足下列条件之一 :1.(),;2, ;fx连 续 ，在 上 有 有 限 个 第 一 类 间 断 点3. ;(),fabx在 上 单 调 有 界则 ： 在 上 可 积 。若积分存在，则积分值与以下因素无关：1,1()();2,3bbaai iifxdftab与 积 分 变 量 形 式 无 关 ， 即与 在 上 的 划 分 无 关 ， 即 可 以 任 意 划 分与 点 的 选 取 无 关 ， 即 可 以 在 上 任 意

23、选 取 。()fxb积 分 值 仅 与 被 积 函 数 与 区 间 有 关 。1、牛顿莱布尼兹公式： (),()()bbaaFxfdFa若 是 连 续 函 数 在 上 的 任 意 一 个 原 函 数 ：则 ：牛顿莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲 边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。2、原函数存在定理：高等数学（二）- 14 -(),(),(),()()xaxafbftdftfx若 连 续 ，则 ： 是 在 上 的 一 个 原 函 数 ，且 ：3、定积分的性质：),fgb设 在 上 可 积 ， 则 ：1()baakxdfxd2)bf3()()4)0b baaagf

24、gxdfxd5()()bcbaacfxfc617(),()bbaafxgdx则 8()()(),bamfMxb估 值 定 理 ：其 中 分 别 为 在 上 的 最 小 值 和 最 大 值 。 9(), ,()bafx abdfa积 分 中 值 定 理 ：若 连 续 则 ： 必 存 在 一 点使二、定积分的计算1、换元积分(),()fxbxt设 连 续 ， ，tt若 连 续 ，,(),(),taba且 当 从 变 到 时 ， 单 调 地 从 变 到()bfxdftdt则 ：2、分部积分bbaauvvu3、广义积分00()()()fxdfxfxd4、定积分的导数公式高等数学（二）- 15 -1()

25、()xxaftdf（2()x1() 213 ()xxftffx 三、定积分的应用1、平面图形的面积: ()0,()yfxaxb由与 x 轴所围成的图形的面积 basfd122(),(),)yygxf由baxsf与 所 围 成 的 图 形 的 面 积123(),(),)yxy由dcsd与 所 围 成 的 图 形 的 面 积4.求 平 面 图 形 面 积 的 步 骤 ：. 求出曲线的交点，画出草图； . 确定积分变量，由交点确定积分上下限；. 应用公式写出积分式，并进行计算。2、旋转体的体积及 x 轴所围图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积：1()0,yfxab曲 线 与2bxaVd及 y 轴所围成

26、图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积：(),ycd由 曲 线 与2yc第四章 多元函数微积分初步第一节 偏导数与全微分一、多元函数的概念1. 二元函数的定义：(,),zfxyDf定 义 域 ：2. 二元函数的几何意义：二元函数是一个空间曲面。 （而一元函数是平面上的曲线）二、二元函数的极限和连续：1. 极限定义：设 z=f(x,y)满足条件：高等数学（二）- 16 -01(,)xy在 点 的 某 个 领 域 内 有 定 义 。（ 点 可 除 外 ）02lim,xyfA则称 在 极限存在，且等于 A。(,)zfxy0,)2. 连续定义：设 z=f(x,y)满足条件：01(,在 点 的 某 个 领

27、域 内 有 定 义 。002li)(,)xyff0zxy则 称 在 处 连 续 。三、偏导数： 0:(,),)f定 义 在 点 000(,)limxxfxyfy0,)(,)yyf0 0(,)(,),xffxy分 别 为 函 数 在处 对 的 偏 导 数 。)(,)zfyD在 内 任 意 点 处 的 偏 导 数 记 为 ：(,(,x xxz )y yffy四、全微分：1.定义：z=f(x,y) (,)(,)zfxyfxy若ABo其 中 ， 、 与 、 无 关 ， （ ） 是 比 2xy较 高 阶 的 无 穷 小 量 。是 在点(x,y)处的全微分。:(,)dzf则 (,)zf3. 全微分与偏导数

28、的关系 (,).xyfxyD定 理 ： 若 连 续 ，(,)f则 ： 在 点 处 可 微 且 ,xydzfd五、复全函数的偏导数：1. (,)(,)(,)fuvxvy设 ：zxyz则 ：高等数学（二）- 17 -zuzvyy2. (,)(),fvx设dudx六、隐含数的偏导数：1. (,)0,(,)0zFyzfxyF设 且 xzz则2. (,),(),yf设 且 xydF则七、二阶偏导数：2(,)()xzfx 2(,)()yzfxy,xy zy,yx zx(,)(,),xxff结 论 ： 当 和 为 的 连 续 函 数 时 ，yy则 ：八、二元函数的无条件极值1、二元函数极值定义：0(,),)

29、zx设 在 某 一 个 邻 域 内 有 定 义 ，0(,)(,)yzxy若 或0, ,则 称 是 的 一 个 极 大 或 极 小 值()z称 是 的 一 个 极 大 或 极 小 值 点 。极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。 2、极值的必要条件： 00(,)(,)(,)zfxyxy若 在 点 有 极 值 ， 且 在两个一阶偏导数存在，则： 0xyf 0001(,)(,)(,)fx使 的 点 ， ,z称 为 的 驻 点 。2定 理 的 结 论 是 极 值 存 在 的 必 要 条 件 ，而非充分条件。例： 1zyx高等数学（二）- 18 -020xyzxy解 出 驻 点(,)

30、12(,)1z当 时 ， 0,0xx当 时 ，驻点不一定是极值点。3、极值的充分条件： 0(,),)yfy设 ： 函 数 在 的 某 个 领 域 内 0(,)xy有 二 阶 偏 导 数 ， 且 为 驻 点 ，20 0(,)xxypffx若 ： 00(,),xfyf时 ， 为 极 大 值 。当 ： 且 时 ， 为 极 小 值 。 0,(,)pf当 ： 不 是 极 值 。,当 ： 不 能 确 定 。求二元极值的方法：1求 一 阶 偏 导 数 ， 令 两 个 一 阶 偏 导 数 等 于 零 ，解 出 驻 点 。2,p求 出 根 据 极 值 的 充 分 条 件 ， 判 断 驻 点 是 否 是极值点。3

31、若 驻 点 是 极 值 点 ， 求 出 极 值 。第五章 排列与组合一、两个基本原理1. 加法原理完成某项工作有 类不同的方法：在第一类方法中有 种方法，在第二类方法中有 种方法，n1m2m，在第 类方法中有 种方法，那么完成这件事共有 nm12nN种不同的方法。2. 乘法原理完成某项工作必须经过 个步骤，第一个步骤有 种方法，第二个步骤有 种方法， ，在1 2 第 个步骤有 种方法，那么完成这件事共有nn12nm种不同的方法。两个基本原理的区别：加法原理：完成一件事与分类有关，即每一类各自独立完成，此事即可完成。乘法原理：完成一件事与步骤有关，即依次完成每一步骤，此事才能完成。二、排列与组合

32、1. 排列从 个不同元素里，任取 个元素，按照一定的顺序排成一列，称为从 个不同元素里n(1)mn n取出 个元素的一个排列，排列总数记为 。当 时的排列称为全排列，其排列总数记为mmPn高等数学（二）- 19 -或 。mnP排列数的计算公式： !(1)2(1)()n nnm全排列 （规定 ）!m0!2. 组合从 个不同的元素里，任取 个元素组成一组，叫做从 个不同元素里取出 个元素的()nnm一个组合，组合总数记为 mnC组合数计算公式：（规定 ）(1)(1)!()mnC 01nC组合数的一个重要性质： 。此性质常用在 与 都比较大的情况。例如 ，显mnm9510C然右边的计算较简单。3. 排列与组合的关系由计算公式可知 mmnnPPC或