1、,知识体系,圆,基本性质,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系,概念,对称性,垂径定理,圆心角、弧、弦之间的关系定理,圆周角与圆心角的关系,切线的性质,切线的判定,切线的作图,弧长、扇形面积和圆锥的侧面积相关计算,正多边形和圆,位置分类,性质,公切线的作图,关系定理,有关计算,圆的有关性质,圆的定义（运动观点）,在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作O，读作“圆O”,圆的定义辨析,篮球是圆吗？ 圆必须在一个平面内 以3cm为半径画圆，能画多少个？ 以点O为圆心画圆，能画多少个？
2、 由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？ 半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置 圆是“圆周”还是“圆面”？ 圆是一条封闭曲线 圆周上的点与圆心有什么关系？,圆的定义（集合观点）,圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）； 到定点的距离等于定长的点都在圆上。,一个圆把平面内的所有点分成了多少类？ 你能模仿圆的集合定义思想，说说什么是圆的内部和圆的外部吗？,点与圆的位置关系,圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。 圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。 圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。 由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定
3、的呢？,如果圆的半径为r， 点到圆心的距离为d，则：点在圆上 d=r点在圆内 dr,与圆有关的概念,弦和直径 什么是弦？什么是直径？ 直径是弦吗？弦是直径吗？ 弧与半圆 什么是圆弧（弧）？怎样表示？ 弧分成哪几类？ 半圆是弧吗？弧是半圆吗？ 弓形是什么？ 同心圆、同圆、等圆和等弧 怎样的两个圆叫同心圆？ 怎样的两个圆叫等圆？ 同圆和等圆有什么性质？ 什么叫等弧？,点的轨迹,把符合某一条件的所有的点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 图形上的任何一点都符合条件； 符合条件的任何一点都在图形上。 圆是什么点的轨迹？ 垂直平分线是什么点的轨迹？ 角平分线是什么点的轨迹？,圆的有关性质,过三点
4、的圆,思考：确定一条直线的条件是什么？ 类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？ 讨论：经过一个点，能作出多少个圆？经过两个点，如何作圆，能作多少个？经过三个点，如何作圆，能作多少个？,经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心叫做三角形的外心， 三角形叫做圆的内接三角形。,问题1：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？ 问题2：三角形的外心一定 在三角形内吗？,C90,ABC是锐角三角形,ABC是钝角三角形,垂直于弦的直径,及其推论,从特殊到一般,想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？ 性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。,观
5、察右图，有什么等量关系？,垂直于弦的直径,AO=BO=CO=DO，弧AD弧BC，弧AC弧BD。,AO=BO=CO=DO，弧AD弧BC=弧AC弧BD。,AO=BO=CO=DO，弧AD弧BD，弧AC弧BC, AEBE 。,垂径定理,垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,判断下列图形，能否使用垂径定理？,注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！,定理辨析,练习,若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？,变式1：AC、BD有什么关系？,变式2：ACBD依然成立吗？,变式3：EA_, EC=_。,OA=OB,OC=OD,变式练习,如
6、图，P为O的弦BA延长线上一点，PAAB2，PO5，求O的半径。,辅助线,关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。,画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论。,想一想：如果将题设和结论中的5个条件适当互换，情况会怎样？,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。,推论1,如图，CD为O的直径，ABCD，EFCD，你能得到什么结论？,推论2,弧AE弧B
7、F,圆的两条平行弦所夹的弧相等。,圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系,圆的性质,圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。,圆心角：顶点在圆心的角。 （如：AOB）,弦心距：从圆心到弦的距离。 （如：OC）,相关定义,猜想与证明,如图，AOBAOB，OCAB，OCAB。 猜想：弧AB与弧AB，AB与AB，OC与OC之间的关系，并证明你的猜想。,定理 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。,在同圆或等圆中，,圆心角所对的弧相等， 圆心角所对的弦相等， 圆心角
8、所对弦的弦心距相等。,推论 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量都分别相等。,在同圆或等圆中 (前提),圆心角相等 （条件）,定理推论,把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1的角。1的圆心角所对的弧叫做1的弧。,圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。,一般地，n的圆心角对着n的弧。,弧的度数,圆周角,切线判定的方法,利用切线定义 利用圆心到直线的距离等于半径 利用切线判断定理辅助线技巧： 若直线过圆上某一点，则连结圆心和公共点，再证明直线与半径垂直 若直线与圆的公共点没有确定，则过圆心向直线作垂线，再证明
9、圆心到直线的距离等于半径。,Review,切线的性质,重点内容,切线判定：直线l：过半径外端垂直于半径 切线性质：切线l，A为切点：OAl,理解记忆,类比猜想,切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。,推论： 1、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 2、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心,切线判定与性质典型例题,已知：AB是O的直径，BC是O的切线，切点为B，OC平行于弦AD。 求证：DC是O的切线。,体会规律,如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD与小圆相切。,切线性质定理的推广,性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 推1：经
10、过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心,浓缩提炼,你能用一个定理把圆的切线的性质及它的两个推论概括出来吗？,如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可以推出第三个：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心。,切线的判定和性质,判定切线的三种方法： 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线,Review,切线的主要性质： 切线和圆只有一个公共点 切线和圆心的距离等于半径 切线垂直于过切点的半径 经过圆心垂直于切线的直线必过切点 经过切点垂直于切线的直线必过圆心,主要辅助线： 利
11、用切线性质时，常作过切点的半径 证明直线是圆的切线时，分清什么时候“连结”，什么时候“作垂线”,三角形的内切圆,重点内容,问题,如何在一个三角形中剪下一个圆，使得该圆的面积尽可能的大？,思考,定义,和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；内切圆的圆心叫做三角形的内心；这个三角形叫做圆的外切三角形。,三角形的内心是三角形内角平分线的交点。,三角形的内心是否也有在三角形内、三角形外或三角形上三种不同情况。,记忆,在ABC中，ABC50，ACB75，求BOC的度数。 （1）点O是三角形的内心 （2）点O是三角形的外心,ABC中，E是内心，A的平分线和ABC的外接圆相交于点D。求证：DEDB。,练习
12、,关于三角形内心的辅助线： 连结内心和三角形的顶点，该线平分三角形的这一内角。,三角形的各种“心“,Hearts of Triangle,三条高线的交点,三条角平分线的交点,三边垂直平分线的交点,三条中线的交点,在形内、形外或直角顶点,在形内、形外或斜边中点,在形内,在形内,到三角形各顶点距离相等,到三角形三边距离相等,把中线分成了2:1两部分,已知ABC的内切圆半径为r，求证： ABC的面积SABCsr。（s为ABC的半周长）,O,三角形的外接圆：,三角形的内切圆：,I,特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：,直角三角形外接圆、内切圆半径的求法,等边三角形外接圆、 内切圆半径的求法,基本思路：
13、 构造三角形BOD，BO为外接圆半径，DO为内切圆半径。,O,D,圆的内接四边形,定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。,DB180 AC180,EABBCD FCBBAD,对角,外角,内对角,又一种重要的辅助线,如图，O1和O2都经过A、B两点，经过A点的直线CD与O1交于点C，与O2交于点D，经过B点的直线EF与O1交于点E，与O2交于点F。求证：CEDF,有两个圆的题目常用的一种辅助线：作公共弦。 此图形是一个考试热门图形。,思考：若此题条件和结论不变，只是不给出图形，此题还能这样证明吗？,切线长定理,切线长的定义以及定理,切线与切线长的区别： 切线是直线，不
14、能度量。 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外的一点和切点，可以度量。,PA、PB分别切O于A、B,切线长定理： 题设：从圆外一点引圆 的两条切线 结论：切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 几何表述：,如图，PA、PB是O的两条切线，A、B是切点，直线OP交O于点D，交AB于点C。 写出图中所有的垂直关系 写出图中所有的全等三角形 写出图中所有的相似三角形 写出图中所有的等腰三角形 若PA4cm，PD2cm，求半径OA的长 若O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm，求切线长及这两条切线的夹角度数,PO平分AOB PO垂直平分AB PO平分弧AB,PAPB PO平
15、分APB,推广,切线长定理,圆的外切四边形的重要性质,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和O分别相交相切于点L、M、N、P。观察图并结合切线长定理，你发现了什么结论？并证明之。,圆的外切四边形的两组对边的和相等 ABCDADBC,弦切角,弦切角的定义,弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角。 要点： 顶点在圆上 一边和圆相交 一边和圆相切,判断下列各图形中的A是不是弦切角，并说明理由。,还记得什么是分类讨论吗？ 还记得什么是化归吗？ 还记得什么是完全归纳法吗？,弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。,定 理,如图，DE切O于A，AB，AC是O的弦，若弧AB弧AC，那么
16、DAB和EAC是否相等？为什么？,推论,若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等。,等腰梯形各边都与O相切， O的直径为6cm，等腰梯形的腰等于8cm，则梯形的面积为_。,圆的外切四边形的两组对边的和相等 ABCDADBC,与圆有关的比例线段,相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。,PAPB=PCPD,切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。,PT2= PAPB,如图，CD是弦，AB是直径，CDAB，垂足为P。 求证：PC2PAPB,演变与一题多解,你能用两种不同的原理证明吗？,相交弦定理推论 如果弦与直径垂直相交，
17、那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。,PC2= PAPB,如图，PAB和PCD是O的两条割线。 求证：PAPBPCPD,演变与一题多解,你能用多种不同的原理证明吗？,切割线定理推论（割线定理） 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。,PAPBPCPD,(1)经过O内或外一点P作两条直线交O于A,B,C,D四点,得到了如图所示的六种不同情况.在六种情况下,PA,PB,PC,PD四条线段在数量上满足的关系式可用同一个式子表示.请先写出这个式子，然后只就图给予证明；,(2)已知O的半径为一定值r，若点P是不在O上的一个定点，请你过P任作一直线交O于不重
18、合的两点E、F，PEPF的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来。,结论：过不在圆上的一个定点P的任何一条直线与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两条线段的乘积为定值。（等于点P到圆心的距离与半径的平方差的绝对值）,运动观点看本质,切线长定理 相交弦定理 相交弦定理推论 切割线定理 割线定理,本质一样 圆幂定理,圆和圆的 位置关系,外离,内含,两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部。,两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的内部。,dR+r,dR-r,外切,内切,两个圆有唯一公共点，并且除这公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部。,两个圆
19、有唯一公共点，并且除这公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部。,d=R+r,d=R-r,相交,两个圆有两个公共点。,R-rdR+r,从公共点个数看两圆位置关系,公共点个数,没有公共点 （相离）,一个公共点 （相切）,两个公共点 （相交）,外离,内含,外切,内切,两圆位置关系的数量特征,d：圆心距 R、r：两圆半径（Rr）,相切两圆、相交两圆的性质,对称性 单一个圆是轴对称图象，那么由两个圆组成的图形是否有轴对称性质呢？有若，说出对称轴，若没有，说明理由 由上述性质，你可以推导出相切两圆、相交两圆分别有什么性质吗？说明理由。,如果两圆相切，那么切点在连心线上。,相切两圆的性质,生活中的公切线,
20、公切线的相关概念,公切线：和两圆都相切的直线。,思考： 两个圆是否一定有公切线？ 若有，那么会有多少条公切线？,公切线数量&两圆位置关系,公切线的性质,切线类比联想公切线 什么是切线长？什么是公切线的长？ 切线长有什么定理？你猜想公切线的长相应有什么性质？写出结论并证明。,重点：关于公切线长的计算,公切线的长的计算 思想：构造直角三角形，利用勾股定理 计算式：,联想： 通常构造直角三角形的知识点：垂径定理、切线长定理、公切线 思考： 两圆内切时，内（外）公切线的长怎样？ 两圆外切时，内公切线的长怎样？此时，外公切线长是两圆直径的比例中项，怎样证明？,辅助线：构造Rt,要做一个如图那样的V形架，
21、将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为200mm和80mm，求V形角的度数。,从边长分别为a、b（ab）的矩形纸片上剪下一个最大的圆，然后再从剩下的余料中又剪下一个尽可能大的圆，求第二次剪下的圆的直径。,计算题： 两圆外切，通常辅助线的添法是连结两圆圆心，平移外公切线，构成直角三角形，利用勾股定理计算。,辅助线：作公切线,如图，O1和O2内切于P，大圆的弦AB交小圆于C、D。 求证：APCBPD。,如图，O1和O2外切于A，BC是O1和O2的公切线，B、C为切点。 求证：ABAC,重要结论：切点三角形,如图，O1和O2外切于点A、BC为两圆外公切线，B、C为切点，AD为O1直径， 求证：ACBD
22、。,重要结论：切点三角形,如图，O1和O2外切于A，两圆的外公切线BC切O1于点B，切O2于C,连结AB、AC；CA的延长线交O1于D。 求证：（1）ABAC； （2）BD2DADC。,相交两圆的连心线垂直平分公共弦。,相交两圆的性质,O1、O2的半径分别为4cm、3cm。两圆交于A、B两点，AB4.8cm，求O1O2的长。,正多边形和圆,圆的内接正n边形 & 圆的外切正n边形,正多边形： 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 正n边形： 如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。,三条边相等，三个角也相等（60度）,四条边都相等，四个角也相等（90度）,类比联想,怎样找圆
23、的内接正三角形？怎样找圆的外切正三角形？,怎样找圆的内接正方形？怎样找圆的外切正方形？,怎样找圆的内接正n边形？怎样找圆的外切正n边形？,把圆分成n（n3）等份： 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形； 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形。,定理,正多边形和圆,正n边形的外接圆 & 正n边形的内切圆,类比联想,正三角形 有没有外接圆和内切圆？ 怎样作出这两个圆？ 这两个圆有什么位置关系？,正方形 有没有外接圆和内切圆？ 怎样作出这两个圆？ 这两个圆有什么位置关系？,那么，正n边形呢？,定理,任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆
24、是同心圆。,正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距。正多边形各边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。正n边形的每个中心角都等于360/n。,正多边形的性质,正多边形是轴对称图形，正n边形有n条对称轴。 若n为偶数，则其为中心对称图形。,正多边形的性质,各边相等，各角相等 圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等分 圆的外切正n边形的各边与圆的n个切点把圆分成n等分 每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个圆是同心圆，圆心就是正多边形的中心 正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数那么它还是中心对称图形 正n边形
25、的中心角和它的每个外角都等于360/n，每个内角都等于(n-2)180/n 边数相同的正多边形相似，周长比、边长比、半径比、边心距比、对应对角线比都等于相似比，面积比等于相似比平方,求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形。,求证：各角相等的圆外切多边形是正多边形。,思考： 各边相等的圆外切多边形是否是正多边形？ 各角相等的圆内接多边形是否是正多边形？,正多边形的有关计算,思考,什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？ 正n边形的内角和、外角和分别是多少？它的每一个内角、外角、中心角分别是多少？ 作一个正五边形，作出它的半径、中心角、边心距，观察它们之间有何关系？ 若正多边形的边数为n时，它
26、的边长、半径、中心角、边心距之间的关系如何？怎样做有关的计算？,正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。,定理,练习,已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边形的边长a6、周长P6和面积S6。,已知圆的半径为R，求它的内接正三角形、内接正方形的边长、边心距和面积。,画正多边形,思想： 画半径为R的正n边形，只要把半径为R的圆n等分。 用尺规等分圆 正四边形 正八边形 正六边形 正三角形 正十二边形,圆周长、弧长,圆周长,圆周长C与半径R之间的关系：C2R,弧长计算公式,公式中n和180都不要带单位“度” 圆心角的单位必须化为“度” 题中没有标明精确度，结果用表示,皮
27、带轮模型,如图，两个皮带轮的中心的距离为2.1m，直径分别为0.65m和0.24m。（1）求皮带长（保留三个有效数字）；（2）如果小轮每分钟750转，求大轮每分钟约多少转？,如果两个轮是等圆呢？,圆、扇形、弓形的面积,一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形,扇形,回忆弧长计算公式的推导过程，你能否相应地推出扇形面积的计算公式呢？,扇形面积,观察扇形面积公式，你发现它和弧长公式之间有什么关系？,怎样才能牢固地记忆这两个公式呢？,已知正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积。,圆环面积,把上题中的正三角形改为正方形，结果会怎样？ 猜想：正五边形、正六边形时又会怎样？ 用文字
28、表达你得到的结论。,求不规则图形面积时，要认真观察图形，准确分解与组合，化归为常见的基本图形。,弓形：由弦及其所对的弧组成的图形,弓形面积,S弓形= S扇形-SAOB,S弓形= S扇形+SAOB,S弓形=S半圆,水平放着的圆柱形水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m。求截面上有水的弓形的面积（精确到0.01m2）,如图，O的半径为R，直径ABCD，以B为圆心，以BC为半径作弧CED。求弧CED与弧CAD围成的新月形ACED的面积S。,如图，O1与O2外切于C，AB为两圆公切线，A、B为切点，若O1、O2半径为3R、R。求： （1）AB的长； （2）阴影部分面积。,如图，已知A为O外一点
29、，连结OA交O于P，AB为O的切线，B为切点，AP5cm，AB cm，则劣弧BP与AB、AP围成的阴影部分面积为多少？,若把两个圆心角相等的扇形看作有一条曲边的三角形，则这两个扇形“相似”，由类比法可以得出一些有趣的性质： 相似扇形的弧长比等于半径比 相似扇形非曲边上的高之比及中线之比都等于扇形半径之比 相似扇形的外接圆半径之比和内切圆半径之比都等于扇形半径之比 相似扇形周长之比等于扇形半径之比 相似扇形面积之比等于扇形半径之比的平分,曲边三角形,扇形曲边三角形 扇环？ 由此猜想扇环还可以怎样计算呢？ 有能力的话，你能推导吗？ 看看课本181页11题,扇环面积,圆柱和圆锥,侧面展开图,的,思考
30、题,在一个圆锥形的雪糕壳的表面上A处有一只蚂蚁，它发现雪糕壳表明上的B处有一滴残留的雪糕，那么请你为这只蚂蚁设计一条最短的路线，使它最快爬到B处。,把一个圆柱侧面展开，是什么图形？ 把一个圆锥侧面展开，是什么图形？,圆柱与圆锥的有关概念,圆柱 圆柱的高 圆柱的运动定义 圆柱的轴 圆柱的母线,圆锥 圆锥的高 圆锥的运动定义 圆锥的轴 圆锥的母线,O,圆柱的基本性质,两个底面是两个等圆 两个底面平行 母线平行与轴 轴通过上、下底面的圆心 母线长都相等并等于高 侧面展开图是矩形 矩形的一边长等于圆柱的高，即母线长 另一边长是底面圆的周长 圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高,圆锥的基本性质,底面一个圆 轴通过底面的圆心 轴垂直于底面 母线长都相等 侧面展开图是扇形 扇形的半径是圆锥的母线长 弧长是圆锥底面圆的周长 圆锥的侧面积等于扇形的面积,提高练习,从一个底面半径为40cm，高60cm的圆柱中挖去一个以圆柱上底为底，下底圆心为顶点的圆锥，如图，得到一个几何体，求这个几何体的表面积。,
