1、1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程,1.连续函数 如果函数y=f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线,那么就把它称为区间I上的连续函数. 【做一做1】 下列函数中不是连续函数的为( ) A.y=x2 B.y=sin x C.y=lg(x-1) D.y=x0 解析:因为 所以函数y=x0的图象不是连续不断的曲线,不是连续函数. 答案:D,2.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形:由直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图). (2)求曲边梯形面积的方法与步骤: 分割:把区间a,b分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(
2、如图); 近似代替:对每个小曲边梯形“以直代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值; 求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和; 取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,所有小曲边梯形的面积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面积.,名师点拨求曲边梯形面积时注意的几个问题: (1)将区间a,b进行分割时,通常进行等分,即把区间a,b等分为n个小区间,则每个小区间的长度为 (2)进行“近似代替”时,每个小区间上函数f(x)的值可任意取一点i 1 ,xi,用f(i)来代替,但为了计算方便,通常取区间的一些特殊点,如区间的端点或中点等; (3)求和时,要
3、注意数列求和公式以及其他求和公式的应用.,【做一做2】 在计算由曲线y=-x2以及直线x=-1,x=1,y=0所围成的图形面积时,若将区间-1,1进行n等分,则每个小区间的长度为 .,3.求变速直线运动的路程 如果物体做变速直线运动,速度函数为v=v(t),那么它在时间t所在的区间a,b内的路程(或位移)也可以运用(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限的方法求得. 名师点拨求变速直线运动的路程,实际上也是求时间速度坐标系中的曲边梯形的面积,所以求汽车行驶的路程与求曲边梯形的面积方法一样.,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)曲边梯形的
4、每一条边都不会是直线段. ( ) (2)在求曲边梯形面积的第一步“分割”中,必须对给定区间进行等分. ( ) (3)在求曲边梯形面积的第二步“近似代替”中,可以用该小区间内任意一点的函数值代替近似值. ( ) (4)求曲边梯形面积的方法不适合于求直边图形的面积. ( ) (5)用“分割、近似代替、求和”方法求得的曲边梯形的面积不是近似值,而是真实值. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,思维辨析,求曲边梯形的面积 【例1】 求由直线x=0,x=2,y=0和曲线y=2x-x2围成的图形面积. 分析:先画出图形,确定曲边梯形的形状,再按照“分割近似代替求和取极限”
5、的步骤进行求解.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟求曲边梯形面积: (1)思想:以直代曲. (2)步骤:分割近似代替求和取极限. (3)关键:近似代替,特别注意的是当f(i)为负值时,应以|f(i)|为一边构造小矩形. (4)结果:最后所得曲边梯形的面积不是近似值,而是真实值.,探究一,探究二,思维辨析,变式训练1求由直线x=1,x=2,y=0和曲线y=x2围成的图形面积.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,求变速直线运动的路程 【例2】 一辆汽车做变速直线运动,若汽车在时刻t的速度为v(t)=2
6、t2,求汽车在t=1到t=4这段时间内运动的路程s. 分析:确定区间,然后按照“分割近似代替求和取极限”的步骤进行求解.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟1.求变速直线运动的路程问题,方法和步骤类似于求曲边梯形的面积,仍然利用以直代曲的思想,将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题,求解过程为:分割、近似代替、求和、取极限. 2.将区间分成n等份时,每个小区间的表示易出现漏乘区间长度的错误,主要原因在于常常将区间长度默认为1个单位.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,求曲边梯形面积的步骤理解不清致误 【典例】 求由抛物线y
7、=2x2与直线x=0,x=t(t0),y=0所围成的曲边梯形的面积时,将区间0,t等分成n个小区间,则第i-1个区间为( ),易错分析:对区间端点的变化规律把握不准,搞不清区间端点与区间个数的对应关系而错选.,探究一,探究二,思维辨析,纠错心得本题错选的原因在于计算不细心,不注意观察区间的端点与区间个数的对应关系,盲目推断而造成的.在求曲边梯形面积以及变速直线运动的路程时,过程较为复杂,计算量较大,因此应细心计算,避免出错.,探究一,探究二,思维辨析,1,2,3,4,5,1.在求由x=a,x=b(ab),y=f(x)(f(x)0)及y=0围成的曲边梯形的面积S时,在区间a,b上等间隔地插入n-
8、1个分点,分别过这些分点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,则下列说法中,正确的是( ) A.n个小曲边梯形的面积和等于S B.n个小曲边梯形的面积和小于S C.n个小曲边梯形的面积和大于S D.n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定 解析:n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的,因此其面积和为S,故应选A. 答案:A,1,2,3,4,5,2.下列关于函数f(x)=x2在区间 内各点处的函数值的说法正确的是( ) A.f(x)的值变化很小 B.f(x)的值变化很大 C.f(x)的值不变化 D.当n很大时,f(x)的值变化很小 解析:当n很大时,区间 内的值相差很小,所以
9、函数值相差很小,故选D. 答案:D,1,2,3,4,5,3.在计算由曲线y=-x2以及直线x=-1,x=2,y=0所围成的图形面积时,若将区间-1,2进行n等分,则每个小区间的长度为 .,1,2,3,4,5,4.已知某物体运动的速度为v=t,t0,10,若把区间10等分,取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高,则物体运动的路程近似值为 . 解析:每个区间的长度为1,第i个小区间为 1, (i=1,2,10),于是第i小矩形的面积Si=f(i)1=i1=i,故物体运动的路程近似值为S=(1+2+10)=55. 答案:55,1,2,3,4,5,5.利用分割、近似代替、求和、取极限的办法求函数y=1+x, x=1,x=2的图象与x轴围成梯形的面积并用梯形的面积公式加以验证.,1,2,3,4,5,
