1、1,2,1函数奇偶性的概念 (1)偶函数的定义 如果对于函数f(x)的定义域内的 一个x，都有 ，那么称函数yf(x)是偶函数 (2)奇函数的定义 如果对于函数f(x)的定义域内的 一个x，都有_，那么称函数yf(x)是奇函数,任意,f(x)f(x),任意,f(x) f(x),一.复习旧知：,3,2奇、偶函数的图象 (1)偶函数的图象关于 对称 (2)奇函数的图象关于 对称 3函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系 (1)若奇函数f(x)在a，b上是增函数，且有最大值M，则f(x)在b，a上是 ，且有 . (2)若偶函数f(x)在(，0)上是减函数，则f(x)在(0，)上是 ,y轴,原点,最小值
2、M,增函数,增函数,4,1奇函数的图象一定过原点吗？ 【提示】 不一定若0在定义域内，则图象一定过原点，否则不过原点 2由奇(偶)函数图象的对称性，在作函数图象时你能想到什么简便方法？ 【提示】 若函数具有奇偶性，作函数图象时可以先画出x0部分，再根据奇偶函数图象的对称性画出另一部分图象,二.思考：,5,例1.设奇函数f(x)的定义域为5,5，当x0,5时，函数yf(x)的图象如图所示，(1)作出函数在5,0的图象；（2)使函数值y0的x的取值集合,【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：f(x)是-5,5上的奇函数；f(x)在0,5上图象已知 解答本题可先利用奇函数的图象关于原点对称， 作出
3、f(x)的图象，再利用图象解不等式,三.典型例题：,6,【解析】 利用奇函数图象的性质，画出函数在-5,0上的图象，直接从图象中读出信息 由原函数是奇函数，所以y=f(x)在-5,5上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在0,5上的图象，知它在-5,0上的图象，如图1所示由图象知，使函数值y0的x的取值集合为(-2,0)(2,5),7,本题利用奇函数图象的特点，作出函数在区间5,0上的图象，利用图象求出满足条件的自变量x的取值集合数形结合是研究函数的重要方法，画函数图象是学习数学必须掌握的一个重要技能，并能利用函数图象理解函数的性质,8,例2.如图给出了偶函数yf(x)(xR)的局部图象，
4、(1)画出x0部分的局部图象 (2)求f(3)，并比较f(1)与f(3)的大小,9,【解析】 因为函数yf(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故保留yf(x)在(，0上的图象，在0，)上作yf(x)关于y轴对称的图象，如图所示，即得函数yf(x)，xR的图象由图象知f(3)2，f(1)1，所以f(1)f(3),10,例3.若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时， f(x)x(1x)，求函数f(x)的解析式 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： 函数f(x)是R上的奇函数； x0时f(x)的解析式已知 解答本题可将x0上求解,11,12,此类问题的一般做法是： “求谁设谁”，即在哪个区间求
5、解析式，x就设在哪个区间内 要利用已知区间的解析式进行代入 利用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x),思考.若将题设中的“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数，且f(0)0”，其他条件不变，则函数f(x)的解析式是什么？,13,14,例4.已知奇函数f(x)是定义在1,1上的增函数，且f(x1)f(12x)0，求实数x的取值范围,【思路点拨】 f(x1)f(12x)0f(x1)f(2x1)根据单调性列不等式组解得实数x的取值范围,15,16,解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再根据奇函数在对称区间
6、上单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响,例5.若偶函数f(x)的定义域为1,1，且在0,1上单调递减，若f(1m)f(m)成立，求m的取值范围,17,18,四.课堂小结：,1.例1例2题型根据奇偶函数的图象性质，知道一个区间的图象可以画出另外一个区间的图象解答,2.求关于奇偶函数的解析式一般做法： “求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内要利用已知区间的解析式进行代入利用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x),3.奇偶性与单调性结合的题目：充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响,19,练习1：已知函数f(x)(xR)是奇函数，且当x0时，f(x)2x3，求函数f(x)的解析式,五.课堂练习：,20,21,练习2：已知函数f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y).求证f(x)是奇函数若f(-3)=a,试用a表示f(24),练习3：已知偶函数f(x)在区间0，+）上单调递增，解不等式f(2x-1)f( ),
