1、3.2.2 函数模型的应用实例（一）（一）教学目标1知识与技能：初步掌握一次和二次函数模型的应用，会解决较简单的实际应用问题.2过程与方法：经历运用一次和二次函数模型解决实际问题，提高学生的数学建模能力.3情感、态度与价值观：了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.（二）教学重点、难点一次和二次函数模型的应用是本节的重点，数学建模是本节的难点.（三）教学方法本节内容主要是例题教学，因此采用学生探究解题方法，总结解题规律，教师启发诱导的方法进行教学.（四）教学过程教学环节 教学内容 师生互动 设计意图复习引入回顾一次函数和二次函数的有关知识.教师提出问题
2、，学生回答.师：一次函数、二次函数的解析式及图象与性质.生：回答上述问题.以旧引新，激发兴趣.应用举例1一次函数模型的应用例 1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发 10min开出 13km 后，以120km/h 的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程 S 与匀速行驶的时间 t 之间的关系，并求火车离开北京 2h 内行驶的路程.教师提出问题，让学生读题，找关键字句，联想学过的函数模型，求出函数关系式.学生根据要求，完成例 1 的解答.例 1 解：因为火车匀速运动的时间为(200 13)120 = 5(h)，所以 0t.因为火车匀速行驶时间 t h 所行驶路程为 120t，所
3、以，火车运行总路程 S 与匀速行驶时间 t 之间的关系是 11302().5St通过此问题背景，让学生恰当选择相应一次函数模型解决问题，加深对函数概念本质的认识和理解.让学生体验解决实际问题的过程和方法.2h 内火车行驶的路程 13206S=233(km).解题方法：1读题，找关键点；2抽象成数学模型；3求出数学模型的解；4做答.学生总结，教师完善.培 养 学 生 分 析归 纳 、 概 括 能力 .从 而 初 步 体验 解 应 用 题 的规 律 和 方 法 .2二次函数模型的应用例 2 某农家旅游公司有客房 300 间，每间日房租 20 元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金.如果每间客房
4、每日增加 2 元，客房出租数就会减少 10 间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？让学生自己读题，并回答下列问题：题目求什么，应怎样设未知量；每天客房的租金收入与每间客房的租金、客房的出租数有怎样的关系；学生完成题目.法一：用列表法求解.此法可作为学生探求思路的方法，但由于运算比较繁琐，一般不用，应以法二求解为重点.对法二让学生读题，回答问题.教师指导，学生自己动手解题.师生合作由实际问题建模，让学生尝试解答.例 2 解答：方法一 依题意可列表如下：x y0 30020 = 60001 (300 101)(20 + 21) = 63802 (300 102
5、)(20 + 22) = 67203 (300 103)(20 + 23) = 70204 (300 104)(20 + 24) = 72805 (300 105)(20 + 25) = 75006 (300 106)(20 + 26) = 7680解应用题首先要读懂题意，设计出问题指导学生审题，建立正确的数学模型.同时，培养学生独立解决问题的能力.7 (300 107)(20 + 27) = 78208 (300 108)(20 + 28) =79209 (300 109)(20 + 29) = 798010 (300 1010)(20 + 210) = 800011 (300 1011)(
6、20 + 211) = 798012 (300 1012)(20 + 212) = 792013 (300 1013)(20 + 213) = 7820 由上表容易得到，当 x = 10，即每天租金为 40 元时，能出租客房 200 间，此时每天总租金最高，为 8000 元.再提高租金，总收入就要小于 8000 元了.方法二 设客房租金每间提高 x 个 2 元，则将有 10x 间客房空出，客房租金的总收入为y = (20 + 2x) (300 10x )= 20x2 + 600x 200x + 6000= 20(x2 20x + 100 100) + 6000= 20(x 10)2 + 800
7、0.由此得到，当 x = 10 时，y max = 8000.即每间租金为 20 + 102 = 40(元)时，客房租金的总收入最高，每天为 8000 元.3分将函数模型的应用例 3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积生：解答：（1）阴影部分的面积为501+801+901+751+651=360.阴影部分的面积表示汽车在这 5 小时内行驶的路程为 360km.（2）根据图，有实际应用用问题解决的一般步骤：理解问题 简化假设 数学建模 解答模的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004km,试建立行驶这段
8、路程时汽车里程表读数 skm 与时间 th 的函数解析式，并作出相应的图象.5024,01,8(1)293,7465(4)9,5.ttstttt这个函数的图象如图所示.型 检验模型 评价与应用的进一步深体.巩固练习课堂练习习题 1如果一辆汽车匀速行驶，1.5h 行驶路程为 90km，求这辆汽车行驶路程与时间之间的函数关系，以及汽车 3h所行驶的路程.习题 2已知某食品 5kg价格为 40 元，求该食品价格与重量之间的函数关系，并求 8kg 食品的价格是多少元.习题 3有 300m 长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、宽学生练习，师生点评.1设
9、汽车行驶的时间为 t h，则汽车行驶的路程 Skm 与时间 t h 之间的函数关系为S = vt.当 t = 1.5 时，S = 90，则 v = 60.因此所求的函数关系为 S=60t，当 t = 3 时，S = 180，所以汽车 3h 所行驶的路程为 180km.2设食品的重量为 xkg，则食品的价格y 元与重量 xkg 之间的函数关系式为y=8x，当 x = 8 时，y = 64，所以当 8kg 食品的价格为 64 元.3设矩形菜地与墙相对的一边长为xcm，则另一组对边的长为 302xm，从而矩形菜地的面积为：学生动手实践、体验所学方法，从而提升解应用题的技能.各为多少时，这块菜地的面积
10、最大？习题 4某市一种出租车标价为 1.20 元/km，但事实上的收费标准如下：最开始 4km 内不管车行驶路程多少，均收费 10 元(即起步费)，4km 后到 15km 之间，每公里收费 1.20 元，15km 后每公里再加收50%，即每公里 1.80 元.试写出付费总数 f 与打车路程 x 之间的函数关系.21(30)510(3).Sxx当 x = 150 时，S max = 11250.即当矩形的长为 150m，宽为 75m 时，菜地的面积最大.4解：所求函数的关系式为 1004.2(4)1538xyx归纳小结课堂小结解决应用用问题的步骤：读题列式解答.学生总结，师生完善使学生养成归纳总
11、结的好习惯.让学生初步掌握数学建模的基本过程.布置作业习题 23B 第 1、3 题：教材第 71 页“思考与讨论”.学生练习使学生巩固本节所学知识与方法.备选例题例 1 某游艺场每天的盈利额 y 元与售出的门票数 x 张之间的关系如图所示，试问盈利额为 750 元时，当天售出的门票数为多少？【解析】根据题意，每天的盈利额 y 元与售出的门票数 x 张之间的函数关系是：3.75(04)1260)xyx（1）当 0x400 时，由 3.75x=750，得 x=200.（2）当 400x600 时，由 1.25x + 1000 = 750，得 x = 200 (舍去).综合（1）和（2） ，盈利额为
12、 750 元时，当天售出的门票数为 200 张.答：当天售出的门票数为 200 张时盈利额为 750 元.例 2 某个经营者把开始六个月试销 A、 B 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资 A 种商品金额(万元)1 2 3 4 5 6获纯利润(万元)0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40投资 B 种商品金额(万元)1 2 3 4 5 6获纯利润(万元)0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51该经营者准备下月投入 12 万元经营这两种产品，但不知投入 A、 B 两种商品各多少才最合算. 请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该
13、经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).【解析】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图：据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系.y = a (x 4)2 + 2 (a0) y = bx 把 x = 1，y = 0.65 代入式，得0.65 = a (1 4)2 + 2，解得 a = 0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资 A 商品的金额的函数关系式可近似地用 y = 0.15(x 4)2 + 2 表示，再把 x = 4，y = 1 代入式，得 b = 0.25，故前六个月所获利润关于月投资 B 种商品的金额的函数关系可近似地用 y = 0.25x 表示.设下月投资 A 种商品 x 万元，则投资 B 种商品为(12 x)万元，可获纯利润y = 0.15 (x 4)2 + 2 + 0.25 (12 x) = 0.15x2 + 0.95x + 2.6，当 0.95(1)3.2 时， 2max46095y4.1.故下月分别投资 A、 B 两种商品 3.2 万元和 8.8 万元，可获最大纯利润 4.1 万元.【评析】幂函数模型的应用题经常以二次函数的形式出现，要注意 y = x2变换到 y = a (x m)2 + b 后发生的变化.
