1、函数的单调性【考点精讲】性 质 图 象 定 义增函数设函数 f（x）的定义域为 I。如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1、x 2，当 x1x 2 时，都有 f（x 1）f （x 2） ，那么就说函数 f（x）在区间 D 上是增函数。减函数设函数 f（x）的定义域为 I。如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1、x 2，当 x1x 2 时，都有 f（x 1）f （x 2） ，那么就说函数 f（x）在区间 D 上是减函数。单调性与单调区间如果一个函数在某个区间 M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间 M 上具有单调性，区间 M 称为单调
2、区间。【典例精析】 例题 1 利用单调性定义证明：函数 f（x）= 在其定义域内是增函数。1思路导航：本题是利用单调性定义证明函数单调性的一个典型例子，由于函数的定义域没有给出，证明前要先求出定义域，然后证明。答案：证明：证法一：函数 f（x）= 的定义域是 x1，+ ） ，任取x1、x 21，+）且 x1x 2，则 f（x 2）f（x 1）= 2= 。)( 1212 xx 1、x 21，+） ，且 x1x 2， + 0，x 2x 10。21f（x 1）f （x 2） ，即函数 f（x）= 在其定义域上是增函数。证法二：函数 f（x）= 的定义域是 x1，+ ，任取 x1、x 21，+ ）且x
3、1x 2，则 ，1)(2221fx 1、x 21，+） ，且 x1x 2，0x 11x 21。0 1。 1。f （x 2）= 0，f （x 1）f（x 2） 。函数 f（x）= 在其定义域 1，+ ）上是增函数。点评：函数的单调性是在某指定区间上而言的，自变量 x 的取值必须是连续的。用定义证明函数的单调性的基本步骤是“取值作差（或作商）变形定号判断”。当函数在给定区间上恒正或恒负时，也常用“作商判 1”的方法来解决，特别是函数中含有指数式时常用此法。解决带根号的问题，常用的方法就是将分子、分母有理化。从形式上看是由“”变成“+”。例题 2 f（x）是定义在（ 0，）上的增函数，且 f（ ）=
4、 f（x）f（y） （1）求 f（1）的值。（2）若 f（6）= 1，解不等式 f（ x3 ）f （ ）2。x1思路导航：（1）利用赋值法，在等式中令 x=y=1，则 f（1）=0。（2）在等式中令 x=36，y=6，则 。2)6(3),6()( ff故原不等式为： 即 fx（x3） f（36） ，又 f（x ）在,1)3(xff（0，）上为增函数，故不等式等价于 。215036)(01xx答案：（1）0 （2） 25点评：对于这种抽象函数问题，常利用赋值法解题。例题 3 作出函数 f（x）= 的图象，并指出函数 f（x）的1212xx单调区间。思路导航：由于所给的函数是两个被开方数和的形式，
5、而被开方数恰能写成完全平方的形式，因此可先去掉根号，转化成分段函数的形式，再作图写出单调区间。原函数可化为f（x）= =|x+1|+|x1|=1212xx.1,2,x答案：函数的图象如图所示：所以函数的递减区间是（，1 ，函数的递增区间是1，+） 。点评：若所给的函数解析式较为复杂，可先化简函数解析式，作出草图，再根据函数的定义域和图象的直观性写出单调区间。去绝对值的关键是令每一个绝对值等于 0，找到分界点，再讨论去绝对值。【总结提升】函数的单调性1. 设 f（x） 、g（x）都是单调函数，有如下四个命题，其中正确的命题为（ ）若 f（x）单调递增，g（x）单调递增，则 f（x）g（ x）单调
6、递增 若 f（x）单调递增，g（x）单调递减，则 f（x）g（x）单调递增 若 f（x）单调递减，g（x）单调递增，则 f（x）g（x）单调递减 若 f（x）单调递减， g（x）单调递减，则 f（x）g（x）单调递减A. B. C. D. 2. 已知函数 f（x）在2，3 上单调，且 f（2）f（3）f（2a） B. f（a 2）0，143a 2+1a。f（x）在（，+）上为减函数，f（a 2+1）0，y=f（x 2）f（x 1）=（ x23+1）（x 13+1）=x13x 23=（x 1x 2） （x 12+x1x2+x22）=（x 1x 2） （x 1+ ） 2+ x22 。4x 1x 2=x0，4y0，即函数 f（x） =x 3+1 在（，+）上是递减函数。8. 解法一：令 t= （t0） ，则x413x= ，y= 1t= t+ = （t+1） 2+6。4132t42t2t1t0，y= （t+1） 2+6 在0，+ 上为减函数，1当 t=0 时， y 有最大值 。解法二：函数的定义域为（， ） 。4132x1 在（， ）上递增， 在（， ）上递减，413x413y=2x1 在（， ）上为增函数。x当 x= 时，y 有最大值 。2
