1、1/9课时分层作业(十二) 平面与平面垂直的判定(建议用时：40 分钟)学业达标练一、选择题1下列说法：两个相交平面所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系其中正确的个数是( )A0 B1C2 D3A 根据二面角定义知都不正确选 A.2如图 2329 所示，在三棱锥 DABC 中，若 ABCB，ADCD ，E 是AC 的中点，则下列结论中正确的是( )图 2329A平面 ABC平面 ABDB平面 ABD平面 BDCC平面 ABC平面 BDE，且平面 ADC平面 BDED平面 ABC平面 ADC，且平面
2、ADC平面 BDEC ABCB，ADCD，E 为 AC 中点ACDE， ACBE，又 BEDEE，AC平面 EDB.又 AC平面 ABC，AC平面 ADC，2/9平面 ABC平面 BDE，平面 ADC平面 BDE.选 C.3已知直线 a，b 与平面 ，下列能使 成立的条件是( ) 【导学号：07742157】A， Ba，ba，bCa ，a Da，aD 由 a，知 内必有直线 l 与 a 平行，而 a， l ， .选 D.4在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，截面 A1BD 与底面 ABCD 所成二面角A1BDA 的正切值为 ( )A B32 22C D2 3C 如 图所示，连接 AC 交
3、BD 于点 O，连接 A1O，O 为 BD 中点，A 1D A1B，在A 1BD 中，A 1OBD.又在正方形 ABCD 中，ACBD，A 1OA 为 二面角 A1BDA 的平面角设 AA11， 则 AO .22tanA 1OA .122 25在正四面体 PABC 中， D，E ，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，则下列四个结论中错误的是 ( )ABC平面 PDFBDF平面 PAE3/9C平面 PDF平面 ABCD平面 PAE平面 ABCC 由 DF BC，可得 BC平面 PDF，故 A 结论正确；作 PO平面 ABC，垂足为 O，则 点 O 在 AE 上， 则 DFPO，又 DFAE，故
4、 DF平面 PAE，故 B结论正确；由 DF平面 PAE，可得平面 PAE平面 ABC，故 D 结论正确易知C 结论错误 二、填空题6已知 ， 是两个不同的平面，m，n 是平面 及 之外的两条不同直线，给出四个论断：mn； ；n；m.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.(用序号表示)(或) 当 m，mn 时，有 n 或 n.当 n 时 ，即 .或当 ，m 时，有 m 或 m .当 n 时 mn，即.7如图 2330，ABC 是等腰直角三角形，BAC90 ，ABAC 1，将ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折叠，使平面 ABD平面 ACD，则折叠后 BC
5、_.【导学号：07742158】图 23301 ADBC， ADBD，ADCD.平面 ABD 平面 ACD，AD 为交线，BD CD.ABC 为等腰直角三角形，ABAC1，BD CD .224/9BC 1.BD2 CD28如图 2331 所示，在三棱锥 SABC 中，SBC，ABC 都是等边三角形，且 BC1，SA ，则二面角 SBCA 的大小为_32图 233160 如 图，取 BC 的中点 O，连接 SO，AO，因 为ABAC， O 是 BC 的中点，所以 AOBC，同理可 证 SOBC ，所以SOA 是二面角 SBCA 的平面角在AOB 中， AOB 90 ，ABO60，AB 1，所以
6、AO1sin 60 .同理可求 SO32.又 SA ，所以SOA 是等边三角形，所以SOA60 ，所以二面角 SBCA32 32的大小为 60.三、解答题9.如图 2332，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1DA 1F，A 1C1A 1B1.求证：(1)直线 DE平面 A1C1F；(2)平面 B1DE平面 A1C1F.图 2332证明 (1)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，A 1C1AC .在ABC 中，因为 D，E 分 别为 AB，BC 的中点，所以 DEAC，于是 DEA 1C1.5/9又因为 DE平面 A1C1
7、F，A1C1平面 A1C1F，所以直线 DE平面 A1C1F.(2)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， A1A平面 A1B1C1.因为 A1C1平面 A1B1C1，所以 A1AA 1C1.又因为 A1C1A 1B1，A1A平面 ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1A A1B1A 1，所以 A1C1平面 ABB1A1.因为 B1D平面 ABB1A1，所以 A1C1B 1D.又因为 B1DA 1F，A1C1平面 A1C1F，A1F平面 A1C1F，A1C1A 1FA 1，所以 B1D平面 A1C1F.因为直线 B1D平面 B1DE，所以平面 B1DE平面 A1C1F.10已知 AA1平面
8、ABC， BB1 AA1，ABAC3，BC2 ，AA 1 ，BB 12 ，点 E 和 F 分5 7 7别为 BC 和 A1C 的中点(1)求证：EF平面 A1B1BA；(2)求证：平面 AEA1平面 BCB1；(3)求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小【导学号：07742159】证明 (1)连接 A1B.在A 1BC 中，E 和 F 分别是 BC 和 A1C 的中点，EFA 1B.又A 1B平面 A1B1BA，EF平面 A1B1BA，EF 平面 A1B1BA.(2)ABAC，E 为 BC 的中点，AEBC.AA 1平面 ABC，BB1AA 1，BB 1平面 ABC，BB 1AE.又
9、BCBB 1B ，AE平面 BCB1.又AE平面 AEA1，平面 AEA1平面 BCB1.(3)取 BB1 的中点 M 和 B1C 的中点 N，连接 A1M，A1N，NE.6/9N 和 E 分别为 B1C 和 BC 的中点，NEB 1B，且 NE B1B，12NEA 1A，且 NEA 1A，A 1AEN 是平行四边形A 1NAE，且 A1NAE.又AE平面 BCB1，A 1N平面 BCB1，A 1B1N 即为直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角在ABC 中，可得 AE2，A 1NAE2.BMAA 1，BMAA 1，A 1MAB 且 A1MAB.又由 ABBB 1，A 1MBB 1.在 Rt
10、 A1MB1 中， A1B1 4.B1M 2 A1M 2在 RtA 1NB1 中，sinA 1B1N ，A1NA1B1 12A 1B1N30，即直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小为 30.冲 A 挑战练1一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为( )A相等 B互补C相等或互补 D不确定D 反例：如 图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 CD，C1D1 的中点，二面角 D AA1E 与二面角 B1ABD 的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故选 D.2如图 2333 所示，四边形 ABC
11、D 中，AD BC ，ADAB，BCD45 ，7/9BAD90.将ADB 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，构成三棱锥ABCD.则在三棱锥 ABCD 中，下列命题正确的是 ( )图 2333AAD 平面 BCDBAB平面 BCDC平面 BCD平面 ABCD平面 ADC平面 ABCD 在四 边形 ABCD 中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，所以 BD CD，又平面 ABD 平面 BCD，且平面 ABD平面 BCDBD，所以 CD平面 ABD，所以 CDAB，又 AD AB，ADCDD，故 AB平面 ADC，从而平面 ABC平面 ADC.3如图 2334，二面角 l 的大小
12、是 60，线段 AB ，B l ，AB 与 l所成的角为 30，则 AB 与平面 所成的角的正弦值是_. 【导学号：07742160】图 2334如图，作 AO 于 O，ACl 于 C，连接 OB，OC，则 OCl.34设 AB 与 所成的角为 ，则ABO ，由图得 sin sin AOAB ACABAOAC8/930sin 60 .344如图 2335，已知六棱锥 PABCDEF 的底面是正六边形， PA平面ABC， PA2 AB，则下列结论正确的是 _(填序号 )图 2335PBAD；平面 PAB 平面 PAE；BC平面 PAE；直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45. 由于 AD
13、与 AB 不垂直，因此得不到 PBAD，不正确；由PAAB， AE AB，PAAEA，得 AB平面 PAE，因 为 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAE，正确；延长 BC，EA，两者相交，因此 BC 与平面 PAE 相交，不正确；由于 PA平面 ABC，所以PDA 就是直 线 PD 与平面 ABC 所成的角，由 PA2AB，AD2AB ，得 PAAD，所以PDA 45，正确5如图 2336，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，AB CD，ABAD ，且 CD2AB .图 2336(1)若 ABAD，直线 PB 与 CD 所成的角为 45，求二面角
14、 PCDB 的大小；(2)若 E 为线段 PC 上一点，试确定点 E 的位置，使得平面 EBD平面ABCD，并说明理由【导学号：07742161】解 (1)ABAD，CDAB ，CDAD，9/9又 PA底面 ABCD，CD平面 ABCD，PACD.又 PAADA，CD平面 PAD，又 PD 平面 PAD，CDPD，PDA 即是二面角 PCDB 的平面角又直线 PB 与 CD 所成的角为 45，PBA 45，PAAB.在 RtPAD 中，PAAD，PDA45，即二面角 PCDB 的大小 为 45.(2)当点 E 在线段 PC 上，且满足 PEEC12 时 ，平面 EBD平面 ABCD.理由如下：连接 AC 交 BD 于点 O，连接 EO(图略)由AOB COD，且 CD2AB，得 CO2AO ，PEECAO CO 12，PAEO.PA底面 ABCD，EO底面 ABCD.又 EO 平面 EBD，平面 EBD 平面 ABCD.
