1、1直线的倾斜角(1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0.(2)范围：直线 l 倾斜角的范围是 0，180)2斜率公式(1)若直线 l 的倾斜角 90 ，则斜率 ktan.(2)P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)在直线 l 上且 x1x 2，则 l 的斜率 k .y2 y1x2 x13直线方程的五种形式名称 方程 适用范围点斜式 yy 0k (xx 0) 不含直线 xx 0斜截式 ykxb 不含垂直于 x 轴的直线两点式 y y1y2 y1 x
2、x1x2 x1 不含直线 xx1 (x1x 2)和直线 yy 1 (y1y 2)截距式 1xa yb不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax ByC0(A 2B 20) 平面直角坐标系内的直线都适用【知识拓展】1直线系方程(1)与直线 AxByC0 平行的直线系方程是 AxBym0(m R 且 mC)(2)与直线 AxByC0 垂直的直线系方程是 BxAym0(m R)2两直线平行或重合的充要条件直线 l1：A 1xB 1yC 10 与直线 l2：A 2xB 2yC 20 平行或重合的充要条件是A1B2A 2B10.3两直线垂直的充要条件直线 l1：A 1xB 1yC 10 与直线 l2：A
3、 2xB 2yC 20 垂直的充要条件是 A1A2B 1B20.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置( )(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率( )(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大( )(4)直线的斜率为 tan，则其倾斜角为 .( )(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等( )(6)经过任意两个不同的点 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)的直线都可以用方程(y y 1)(x2x 1)(xx 1)(y2y 1)表示 ( )1(2016天津模拟)过点 M( 2，m )，N(m,4)的直线的斜率等于 1
4、，则 m 的值为( )A1 B4C1 或 3 D1 或 4答案 A解析 依题意得 1，解得 m1.m 4 2 m2(2016镇海中学检测)直线 x( a21)y10 的倾斜角的取值范围是 ( )A0， B ，)4 34C0， ( ，) D ， ) ，)4 2 4 2 34答案 B解析 由直线方程可得该直线的斜率为 ，1a2 1又1 0，在 y 轴上的截距 0，故直线CA CB经过第一、二、四象限，不经过第三象限4(教材改编)直线 l：axy2a0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则实数 a.答案 1 或2解析 令 x0，得直线 l 在 y 轴上的截距为 2a；令 y0，得直线 l 在 x 轴
5、上的截距为 1 ，2a依题意 2a1 ，解得 a1 或 a2.2a题型一 直线的倾斜角与斜率例 1 (1)(2016北京东城区期末) 已知直线 l 的倾斜角为 ，斜率为 k，那么“ ”是3“k ”的( )3A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， )为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值3范围为答案 (1)B (2)(， 1，)3解析 (1)当 时， ”是“k ”的必要不充分条件，故选 B.3 3(2)如图，k AP 1，1 02 1kBP ，3 00 1 3k( ， 1， )3引申探究1若将题(2
6、)中 P(1,0)改为 P(1,0)，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围解 P( 1,0)，A(2,1)，B (0， )，3k AP ，1 02 ( 1) 13kBP .3 00 ( 1) 3如图可知，直线 l 斜率的取值范围为 .13，32若将题(2)中的 B 点坐标改为(2 ，1)，其他条件不变，求直线 l 倾斜角的范围解 如图，直线 PA 的倾斜角为 45，直线 PB 的倾斜角为 135，由图象知 l 的倾斜角的范围为 0，45135，180)思维升华 直线倾斜角的范围是 0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分 与 两种情况讨论由正切函数图象可
7、以看出，当 0，2) (2，)时，斜率 k0，)；当 时，斜率不存在；当 时，斜率 k( ，0)0，2) 2 (2，)(2016南昌模拟) 已知过定点 P(2,0)的直线 l 与曲线 y 相交于 A，B 两点，2 x2O 为坐标原点，当AOB 的面积取到最大值时，直线 l 的倾斜角为( )A150B135C120D不存在答案 A解析 由 y 得 x2y 22(y0) ，它表示以原点 O 为圆心，以 为半径的圆的一部分，2 x2 2其图象如图所示显然直线 l 的斜率存在，设过点 P(2,0)的直线 l 为 y k(x2) ，则圆心到此直线的距离 d ，|2k|1 k2弦长|AB|2 2 ，2 (
8、f(|2k|,r(1 k2)22 2k21 k2所以 SAOB 212 |2k|1 k2 2 2k21 k2 1，(2k)2 2 2k22(1 k2)当且仅当(2k) 222k 2，即 k2 时等号成立，13由图可得 k (k 舍去)，故直线 l 的倾斜角为 150.33 33题型二 求直线的方程例 2 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点( 4,0)，倾斜角的正弦值为 ；1010(2)直线过点(5,10)，到原点的距离为 5；(3)过点 A(5，4)作直线 l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5，求直线 l 的方程解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜
9、角为 ，则 sin (00 ，b0)，xa yb把点 P(3,2)代入得 12 ，得 ab24，3a 2b 6ab从而 SAOB ab12，当且仅当 时等号成立，这时 k ，从而所求直线方程为12 3a 2b ba 232x3y120.方法二 依题意知，直线 l 的斜率 k 存在且 k2答案 A解析 解方程组Error!得Error!因为直线 y2x 3k 14 与直线 x4y3k2 的交点位于第四象限，所以 k60 且 k20，bc0，bc0Cab0Dab0，故 ab0，bc 1 或 0.12综上知，a0.1210(2016山师大附中模拟)函数 ya 1x (a0，a1) 的图象恒过定点 A
10、，若点 A 在mxny10(mn0)上，则 的最小值为1m 1n答案 4解析 函数 ya 1x (a0，a1)的图象恒过定点 A(1,1)把 A(1,1)代入直线方程得 mn1(mn0) ( )(mn)2 41m 1n 1m 1n nm mn(当且仅当 mn 时取等号)，12 的最小值为 4.1m 1n11(2016太原模拟)已知两点 A(1,2)，B( m,3)(1)求直线 AB 的方程；(2)已知实数 m 1， 1，求直线 AB 的倾斜角 的取值范围33 3解 (1)当 m 1 时，直线 AB 的方程为 x1，当 m1 时，直线 AB 的方程为 y2 (x1)1m 1即 x(m 1)y2m
11、30.(2)当 m 1 时， ；2当 m1 时，m1 ，0)(0 ， ，33 3k ( ， ，)，1m 1 3 33 ， )( ， 6 2 2 23综合知，直线 AB 的倾斜角 ， 6 2312已知点 P(2，1) (1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程；(2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由解 (1)过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2，而点 P 的坐标为(2 ，1)，显然，过点 P(2，1)且垂直于 x 轴的直线满足条件，此时直线 l 的斜率
12、不存在，其方程为 x2.若斜率存在，设 l 的方程为 y1k(x2) ，即 kxy2k10.由已知得 2，| 2k 1|k2 1解得 k .34此时 l 的方程为 3x4y100.综上可得直线 l 的方程为 x2 或 3x4y100.(2)作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线，如图所示由 lOP，得 klkOP1，所以 kl 2.1kOP由直线方程的点斜式，得 y12( x2)，即 2xy50.所以直线 2xy 50 是过点 P 且与原点 O 的距离最大的直线，最大距离为 .| 5|5 5(3)由(2)可知，过点 P 不存在到原点的距离超过 的直线，
13、因此不存在过点 P 且到原点的距5离为 6 的直线*13.如图，射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴成 45和 30角，过点 P(1,0)作直线 AB 分别交OA、OB 于 A、 B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y x 上时，求直线 AB 的方程12解 由题意可得 kOAtan451，kOB tan(18030) ，33所以直线 lOA：y x ，l OB：y x.33设 A(m，m)，B( n，n)，3所以 AB 的中点 C ，(m 3n2 ，m n2 )由点 C 在直线 y x 上，且 A、P、B 三点共线得12Error!解得 m ，所以 A( ， )3 3 3又 P(1,0)，所以 kABk AP ，33 1 3 32所以 lAB：y (x1) ，3 32即直线 AB 的方程为(3 )x2y3 0.3 3
