1、1.空间向量的有关概念名称 概念 表示零向量 模为 0 的向量 0单位向量 长度(模)为 1 的向量相等向量 方向相同且模相等的向量 ab相反向量 方向相反且模相等的向量 a 的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 ab共面向量 平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量 a 与 b(b0)共线的充要条件是存在实数 ，使得 ab.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中 x，yR ， a，b 为不共线向量(3)空间向量基本定理如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组x ，y
2、，z，使得pxaybzc ，a，b，c 叫做空间的一个基底3空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作 a， b，则AOB 叫做向量 a，bOA OB 的夹角，记作a，b ，其范围是 0a，b，若a，b ，则称 a 与 b 互相垂直，2记作 ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量 a，b，则|a|b|cosa，b叫做向量 a，b 的数量积，记作 ab，即ab| a|b|cosa，b (2)空间向量数量积的运算律结合律：( a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4空间向量的坐标表示及其应用设 a(a 1，a
3、 2，a 3)，b( b1，b 2，b 3).向量表示 坐标表示数量积 ab a1b1a 2b2a 3b3共线 a b(b0 ，R) a1b 1，a 2b 2，a 3b 3垂直 ab 0(a 0，b0) a1b1a 2b2a 3b30模 |a| a21 a2 a23夹角 a，b( a0，b0)cos a， ba1b1 a2b2 a3b3a21 a2 a23 b21 b2 b23【知识拓展】(1)向量三点共线定理：在平面中 A、B、C 三点共线的充要条件是： x y (其中OA OB OC xy1)，O 为平面内任意一点(2)向量四点共面定理：在空间中 P、A、B、C 四点共面的充要条件是： x
4、 y zOP OA OB (其中 xyz1)，O 为空间中任意一点OC 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)空间中任意两非零向量 a，b 共面( )(2)在向量的数量积运算中(ab)ca(b c)( )(3)对于非零向量 b，由 ab bc，则 ac.( )(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同( )(5)若 A、 B、C、D 是空间任意四点，则有 0.( )AB BC CD DA 1已知正四面体 ABCD 的棱长为 a，点 E，F 分别是 BC，AD 的中点，则 的值为( )AE AF Aa 2B. a2C. a2D. a212 14 34答案 C解
5、析 如图，设 a， b， c ，则 |a| b|c| a，且 a，b，c 三向量两两夹角为 60. (ab)，AB AC AD AE 12 c，AF 12 (ab) c (acbc) (a2cos60a 2cos60) a2.AE AF 12 12 14 14 142(2016大连模拟)向量 a (2，3,1)，b(2,0,4) ，c (4，6,2)，下列结论正确的是( )Aab，ac Bab，acCac，a b D以上都不对答案 C解析 因为 c( 4，6,2) 2(2，3,1)2a，所以 ac.又 ab( 2) 2(3)0140，所以 ab.故选 C.3与向量(3，4,5)共线的单位向量是
6、_ 答案 和(3210， 225， 22) ( 3210， 225， 22)解析 因为与向量 a 共线的单位向量是 ，又因为向量 (3，4,5)的模为a|a|5 ，所以与向量( 3，4,5)共线的单位向量是 (3，4，5)( 3)2 ( 4)2 52 2152 ( 3， 4,5)2104(教材改编)正四面体 ABCD 的棱长为 2，E，F 分别为 BC，AD 中点，则 EF 的长为_答案 2解析 | |2 2( )2EF EF EC CD DF 2 2 22( )EC CD DF EC CD EC DF CD DF 1 22 21 22(12cos120021cos120)2，| | ，EF
7、的长为 .EF 2 2题型一 空间向量的线性运算例 1 (1)如图，在四面体 O ABC 中， a， b， c，D 为 BC 的中点，E 为 ADOA OB OC 的中点，则 _.(用 a，b，c 表示)OE 答案 a b c12 14 14解析 OE 12OA 12OD 12OA 14OB 14OC a b c.12 14 14(2)三棱锥 O ABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是ABC 的重心，用基向量 ，OA ， 表示 ， .OB OC MG OG 解 MG MA AG 12OA 23AN ( )12OA 23ON OA ( ) 12OA 2312OB OC OA .1
8、6OA 13OB 13OC OG OM MG 12OA 16OA 13OB 13OC .13OA 13OB 13OC 思维升华 用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立(2016青岛模拟) 如图所示，在空间几何体 ABCDA 1B1C1D1 中，各面为平行四边形，设 a， b， c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C 1D1 的中点，试用 a，b，cAA1 AB AD 表示以下各向量
9、：(1) ；AP (2) .MP NC1 解 (1)因为 P 是 C1D1 的中点，所以 AP AA1 A1D1 D1P a AD 12D1C1 ac ac b.12AB 12(2)因为 M 是 AA1 的中点，所以 MP MA AP 12A1A AP a(ac b)12 12 a bc.12 12又 NC1 NC CC1 12BC AA1 ca，12AD AA1 12所以 ( a bc )(a c)MP NC1 12 12 12 a b c.32 12 32题型二 共线定理、共面定理的应用例 2 (2016天津模拟)已知 E，F ，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，
10、DA的中点(1)求证：E，F，G，H 四点共面；(2)求证：BD 平面 EFGH；(3)设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空间任一点 O，有 ( )OM 14OA OB OC OD 证明 (1)连接 BG，则 EG EB BG ( )EB 12BC BD EB BF EH ，EF EH 由共面向量定理的推论知 E，F，G ，H 四点共面(2)因为 EH AH AE 12AD 12AB ( ) ，12AD AB 12BD 所以 EHBD .又 EH平面 EFGH，BD平面 EFGH，所以 BD平面 EFGH.(3)找一点 O，并连接 OM，OA，OB ，OC，OD，OE，OG.由(2)
11、知 ，EH 12BD 同理 ，FG 12BD 所以 ，即 EH 綊 FG，EH FG 所以四边形 EFGH 是平行四边形，所以 EG，FH 交于一点 M 且被 M 平分故 ( )OM 12OE OG 12OE 12OG ( ) ( )1212OA OB 1212OC OD ( )14OA OB OC OD 思维升华 (1)证明空间三点 P，A，B 共线的方法 (R)；PA PB 对空间任一点 O， t (tR)；OP OA AB 对空间任一点 O， x y (xy1)OP OA OB (2)证明空间四点 P，M，A，B 共面的方法 x y ；MP MA MB 对空间任一点 O， x y ；OP
12、 OM MA MB 对空间任一点 O， x y z (xyz1)；OP OM OA OB (或 或 )PM AB PA MB PB AM 已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足 ( )OM 13OA OB OC (1)判断 ， ， 三个向量是否共面；MA MB MC (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内解 (1)由题意知 3 ，OA OB OC OM ( )( )OA OM OM OB OM OC 即 ，MA BM CM MB MC ， ， 共面MA MB MC (2)由(1)知 ， ， 共面且基线过同一点 M，MA MB MC M，A，B，C 四点共
13、面从而点 M 在平面 ABC 内题型三 空间向量数量积的应用例 3 (2016济南模拟)已知平行六面体 ABCDA 1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，AA 12，A 1ABA 1AD120.(1)求线段 AC1 的长；(2)求异面直线 AC1 与 A1D 所成角的余弦值；(3)求证：AA 1BD.(1)解 设 a， b， c，AB AD AA1 则|a |b|1， |c|2，a b0，cacb21cos120 1. abc，AC1 AC CC1 AB AD AA1 | |abc |AC1 (a b c)2 |a|2 |b|2 |c|2 2(ab bc ca) .12
14、12 22 2(0 1 1) 2线段 AC1 的长为 .2(2)解 设异面直线 AC1 与 A1D 所成的角为 ，则 cos|cos ， | .AC1 A1D |AC1 A1D |AC1 |A1D | abc ， bc ，AC1 A1D (abc )(bc)a bacb 2c 2011 22 22，AC1 A1D | | A1D (b c)2 |b|2 2bc |c|2 .12 2( 1) 22 7cos | | .|AC1 A1D |AC1 |A1D | 227 147故异面直线 AC1 与 A1D 所成角的余弦值为 .147(3)证明 c， ba，AA1 BD c(ba)c bca( 1)
15、(1) 0，AA1 BD ，AA 1BD.AA1 BD 思维升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置；(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角；(3)可以通过|a| ，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解a2如图，在平行六面体 ABCDA 1B1C1D1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为 60.(1)求 的长；AC1 (2)求 与 夹角的余弦值BD1 AC 解 (1)记 a， b， c，AB AD AA1 则|a |b| c|1， a，bb，cc ，a60，abb cca .12| |2
16、 (abc) 2a 2b 2c 22( abbcca) 1112( )6，AC1 12 12 12| | ，即 AC1 的长为 .AC1 6 6(2) bca， ab，BD1 AC | | ， | | ，BD1 2 AC 3 (b ca)(ab)BD1 AC b 2a 2acbc 1，cos ， .BD1 AC BD1 AC |BD1 |AC | 66即 与 夹角的余弦值为 .BD1 AC 6620坐标法在立体几何中的应用典例 (14 分) 如图，已知直三棱柱 ABCA 1B1C1，在底面ABC 中，CACB1，BCA90，棱 AA12，M，N 分别是 A1B1，A 1A 的中点(1)求 的模
17、；BN (2)求 cos ， 的值；BA1 CB1 (3)求证：A 1BC 1M.思想方法指导 利用向量解决立体几何问题时，首先要将几何问题转化成向量问题，通过建立坐标系利用向量的坐标进行求解规范解答(1)解 如图，建立空间直角坐标系依题意得 B(0,1,0)，N (1,0,1)，所以| | . 3 分BN (1 0)2 (0 1)2 (1 0)2 3(2)解 依题意得 A1(1,0,2)，B(0,1,0) ，C (0,0,0)，B 1(0，1,2)所以 (1 ，1,2)， (0,1,2)，BA1 CB1 3， | | ，| | ，BA1 CB1 BA1 6 CB1 5所以 cos ， BA1
18、 CB1 BA1 CB1 |BA1 |CB1 | . 8 分3010(3)证明 依题意得 C1(0,0,2)，M( ，2)，1212(1,1，2)，A1B ( ，0) 10 分C1M 1212所以 00，A1B C1M 12 12所以 ，即 A1BC 1M. 14 分A1B C1M 1在下列命题中：若向量 a，b 共线，则向量 a，b 所在的直线平行；若向量 a，b 所在的直线为异面直线，则向量 a，b 一定不共面；若三个向量 a，b，c 两两共面，则向量 a，b，c 共面；已知空间的三个向量 a，b，c，则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x，y，z 使得pxaybzc .其中正确命题
19、的个数是( )A0B1C 2D3答案 A解析 a 与 b 共线，a，b 所在的直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量 a，b 都共面，故不正确；三个向量 a，b，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确；只有当 a，b，c 不共面时，空间任意一向量 p 才能表示为pxaybzc ，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为 0，故选 A.2(2016郑州模拟)已知 a (2,1，3)，b( 1,2,3)，c(7,6，) ，若 a，b，c 三向量共面，则 等于( )A9B9C 3D3答案 B解析 由题意知 cx ay b，即(7,6， )x(2,1，3)y(
20、 1,2,3) ，Error! 解得 9.3已知 a(2,1,3)，b( 1,2,1) ，若 a(ab)，则实数 的值为( )A2B C. D2143 145答案 D解析 由题意知 a(a b)0，即 a2ab0，所以 147 0，解得 2.4.如图，在大小为 45的二面角 AEF D 中，四边形 ABFE，CDEF 都是边长为 1 的正方形，则 B，D 两点间的距离是( )A. B. C1D.3 2 3 2答案 D解析 ，BD BF FE ED | |2| |2| |2| |22 2 2 BD BF FE ED BF FE FE ED BF ED 111 3 ，2 2故| | .BD 3 2
21、5已知 a，b 是异面直线，A，Ba，C ，Db，ACb，BDb 且 AB2，CD1，则异面直线 a，b 所成的角等于( )A30B45C60D90答案 C解析 如图，设 a， b， c，则 abc ，AC CD DB AB 所以 cos ， ，AB CD (a b c)b|a b c|b| 12所以异面直线 a，b 所成的角等于 60，故选 C.6(2016深圳模拟)正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 a，点 M 在 AC1 上且 ，NAM 12MC1 为 B1B 的中点，则| |为( )MN A. a B. a216 66C. a D. a156 153答案 A解析 以 D 为原
22、点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则 A(a，0,0) ， C1(0，a，a)，N(a，a， )a2设 M(x，y，z )，点 M 在 AC1 上且 AM ，12MC1 (xa ，y，z) (x ，ay ，az) ，12x a，y ，z .23 a3 a3M( ， )，2a3 a3 a3| |MN (a f(2,3)a)2 (a f(a,3)2 (f(a,2) f(a,3)2 a.2167A，B ，C ，D 是空间不共面四点，且 0， 0， 0，则BCD 的形AB AC AC AD AB AD 状是_三角形(填锐角、直角、钝角中的一个 )答案 锐角解析 因为 ( )( )BC BD A
23、C AB AD AB 2AC AD AC AB AB AD AB 20，AB 所以CBD 为锐角同理BCD，BDC 均为锐角8(2016南京模拟)设 OABC 是四面体，G 1 是ABC 的重心，G 是 OG1 上的一点，且OG3GG 1，若 x y z ，则 x，y，z 的值分别为_OG OA OB OC 答案 ，1414 14解析 如图所示，取 BC 的中点 E，连接 AE. ( )OG 34OG1 34OA AG1 34OA 12AE ( )34OA 14AB AC ( )34OA 14OB OA OC OA ( )，14OA OB OC xyz .149(2016天津模拟)已知 ABC
24、DA 1B1C1D1 为正方体，( )23 2；A1A A1D1 A1B1 A1B1 ( )0；A1C A1B1 A1A 向量 与向量 的夹角是 60；AD1 A1B 正方体 ABCDA 1B1C1D1 的体积为| |.AB AA1 AD 其中正确的序号是_答案 解析 中，( )2 2 2 23 2，故正确；中，A1A A1D1 A1B1 A1A A1D1 A1B1 A1B1 ，因为 AB1A 1C，故正确；中，两异面直线 A1B 与 AD1 所成的角为A1B1 A1A AB1 60，但 与 的夹角为 120，故不正确；中，| |0，故也不正确AD1 A1B AB AA1 AD *10.如图，
25、在平行六面体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 M，P ，Q 分别为棱 AB，CD，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则A 1MD 1P；A 1MB 1Q；A 1M平面 DCC1D1；A 1M平面 D1PQB1.以上正确说法的个数为_答案 3解析 ， ，A1M A1A AM A1A 12AB D1P D1D DP A1A 12AB ，A1M D1P A 1MD 1P，由线面平行的判定定理可知，A1M平面 DCC1D1，A 1M平面 D1PQB1.正确11.如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F，G 分别是AB，AD ，CD 的中点，计算：(1)
26、；EF BA (2) ；EF DC (3)EG 的长；(4)异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值解 (1)设 a， b， c，AB AC AD 则|a |b| c|1， a，bb，cc ，a60， c a， a， bc.EF 12BD 12 12 BA DC (a)EF BA (12c 12a) a2 ac .12 12 14(2) (ca)( bc)EF DC 12 (bc abc 2ac ) .12 14(3) aba c bEG EB BC CG 12 12 12 a b c，12 12 12| |2 a2 b2 c2 ab bc ca ，则| | .EG 14 14 14 12 1
27、2 12 12 EG 22(4) b c， b a，AG 12 12 CE CA AE 12cos ， ，AG CE AG CE |AG |CE | 23由于异面直线所成角的范围是 ，(0，2所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为 .23*12.(2016沈阳模拟)直三棱柱 ABCABC 中，ACBCAA，ACB90，D、E 分别为 AB、BB的中点(1)求证：CEA D；(2)求异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值(1)证明 设 a， b， c，CA CB CC 根据题意得，|a| |b| c|，且 abbcca0， b c， c b a.CE 12 AD 12 12 c2 b20
28、.CE AD 12 12 ，即 CEAD.CE AD (2)解 ac，| | |a|，| | |a|.AC AC 2 CE 52 (ac) c2 |a|2，AC CE (b 12c) 12 12cos ， .AC CE 12|a|22 52|a|2 1010即异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值为 .101013(2016宁海中学模拟)如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中， a， b， c，AA1 AB AD 点 M，N 分别是 A1D，B 1D1 的中点(1)试用 a，b，c 表示 ；MN (2)求证：MN平面 ABB1A1.(1)解 ca，A1D AD AA1 (ca) A1M 12A1D 12同理， (bc )，A1N 12 (bc ) (ca) (ba) a b.MN A1N A1M 12 12 12 12 12(2)证明 ab，AB1 AA1 AB ，即 MNAB 1，MN 12AB1 AB 1平面 ABB1A1，MN平面 ABB1A1，MN平面 ABB1A1.
