1、第七章 推理与证明第 2 课时 直接证明与间接证明(对应学生用书( 文)、(理)9596 页)考情分析 考点新知了解分析法、综合法、反证法，会用这些方法处理一些简单命题 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. 了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点.1. 已知向量 m(1，1)与向量 n(x，22x)垂直，则 x_答案：2解析：mnx(22x)2x. mn， m n0，即 x2.2. 用反证法证明命题“如果 ab，那么 ”时，假设的内容应为3a 3b_答案： 或 6 2 5 7解析：由分析法可得，要证 2 ，只需证 2 ，即证 1
2、326 2 5 7 6 7 5 2134 ，即 2 .因为 4240，所以 2 成立42 10 42 10 6 2 5 74. 定义集合运算：AB Z|Zxy，xA，yB，设集合 A1，0，1 ，Bsin ，cos，则集合 AB 的所有元素之和为_ 答案：0解析：依题意知 k ，kZ.4k (kZ)时，B ，34 22， 22AB ；0，22， 222k 或 2k (kZ)时，B0，1，A B0 ，1，1；22k 或 2k (kZ)时，B0，1 ，A B0，1，1 ；2 且 k (kZ)时，Bsin ，cos ，k2 34AB 0，sin，cos， sin，cos 综上可知 AB 中的所有元素
3、之和为 0.5. (选修 12P44 练习题 4 改编)设 a、b 为两个正数，且 ab1，则使得 恒成1a 1b立的 的取值范围是_答案：(，4解析： ab1，且 a、b 为两个正数， (ab)1a 1b2 22 4.要使得 恒成立，只要 4.(1a 1b) ba ab baab 1a 1b1. 直接证明(1) 定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法(2) 一般形式Error! A B C 本题结论(3) 综合法 定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止这种证明方法称为综合法 推证过程 已 知 条 件 结 论(4) 分析法 定义：从
4、问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止这种证明方法称为分析法 推证过程 结 论 已 知 条 件2. 间接证明(1) 常用的间接证明方法有反证法、正难则反等(2) 反证法的基本步骤 反设 假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真 归谬 从反设和已知出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果 存真 由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立备课札记题型 1 直接证明(综合法和分析法 )例 1 数列a n的前 n 项和记为 Sn，已知 a11，a n1 Sn(n1，2，3，)，证明：n 2n(1) 数列 是等比数列；Snn(2) S
5、n1 4a n.证明：(1) an1 Sn1 S n，a n1 Sn(n1，2，3，) ， (n2)n 2nSnn(S n1 S n)，整理得 nSn1 2(n1)S n， 2 ，Sn 1n 1 Snn即 2， 数列 是等比数列Sn 1n 1Snn Snn(2) 由(1)知： 4 (n2)，于是 Sn1 4 (n1) 4a n(n2) 又Sn 1n 1 Sn 1n 1 Sn 1n 1a23S 13， S 2a 1a 2134a 1， 对一切 nN *，都有 Sn1 4a n.例 2 设 a、b、c 均为大于 1 的正数，且 ab10，求证： logaclog bc4lgc.证明：(分析法)由于
6、 a1，b1，c1，故要证明 logaclog bc4lgc，只要证明 4lgc，即 4，因为 ab10，故 lgalgb1.只要证明 4，由于lgclga lgclgb lga lgblgalgb 1lgalgba1， b1，故 lga0，lgb0 ，所以 0c 恒成立而 ab(a b)10 16， c ， ， 10， (1a 9b) ba 9ab 1a 1c 1b1c 10c 1a 9b102ab ，a 2bab 22ab .ab ab因为|a 3b 32ab |a 2bab 22ab |(ab)(a b) 20，所以ab ab|a3 b3 2ab |a2bab 22ab |，即 a3b
7、3 比 a2bab 2 远离 2ab .ab ab ab1. 已知 abc，且 abc 0，求证： 0，只需证(ab)(2a b)0，只需证 (ab)(a c)0. abc， ab0，ac0 ， (a b)(a c)0 显然成立故原不等式成立2. 已知等差数列a n的首项 a10，公差 d0，前 n 项和为 Sn，且mn2p(m、n、pN *)，求证： SnS m2S p.证明：m 2n 22mn，2(m 2n 2)(mn) 2.又 mn2p，m 2n 22p 2.3. 如图，ABCD 为直角梯形，BCDCDA90，AD2BC2CD，P 为平面ABCD 外一点，且 PBBD.(1) 求证：PA
8、BD；(2) 若 PC 与 CD 不垂直，求证：PAPD.证明：(1) 因为 ABCD 为直角梯形， AD AB BD，2 2所以 AD2AB 2BD 2，因此 ABBD.又 PB BD，ABPBB，AB，PB 平面 PAB，所以 BD平面 PAB，又 PA平面 PAB，所以 PABD.(2) 假设 PAPD，取 AD 中点 N，连结 PN、BN，则 PNAD，BNAD ，且 PNBN N，所以 AD平面 PNB，得 PBAD.又 PB BD，且 ADBDD，得 PB平面 ABCD，所以 PBCD.又因为 BCCD，且 PB BCB，所以 CD平面 PBC，所以 CDPC，与已知条件 PC 与
9、 CD 不垂直矛盾，所以 PAPD.4. 已知 f(x)a x (a1)x 2x 1(1) 证明 f(x)在(1，) 上为增函数；(2) 用反证法证明方程 f(x)0 没有负数根证明：(1) 设 1x 1x 2，则 x2x 10，ax 2x 11，ax 10，x 110，x 210，从而 f(x2)f(x 1)ax 2ax 1 ax 1(ax2x 11) 0，所以x2 2x2 1 x1 2x1 1 3（x2 x1）（x2 1）（x1 1）f(x)在(1，)上为增函数(2) 设存在 x00(x 01)使 f(x0)0，则 ax0 .x0 2x0 1由 0ax 01 0 1，即 x 02，此与 x
10、00 矛盾，故 x0 不存在x0 2x0 1 121. 分析法的特点是从未知看已知，逐步靠拢已知，综合法的特点是从已知看未知，逐步推出未知分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较烦；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考，实际证明时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来2. 反证法是从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，说明结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法适宜用反证法证明的数学命题：结论本身是以否定形式出现的一类命题；关于唯一性、存在性的命题；结论以“至多” “至少”等形式出现的命题；结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题请 使 用 课 时 训 练 （B）第 2课 时 （见 活 页 ）.备课札记
