1、第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 2 课时 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 (对应学生用书(文) 、(理 )4243 页)考情分析 考点新知 会运用同角三角函数进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明. 能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明 理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos 21， tan.sincos 理解正弦、余弦、正切的诱导公式2k (k Z)， .21. (必修 4P16 例 1 改编) 是第二象限角， tan ，则 sin_815答案：817解析：由 解得 sin . 为第二象限角，
2、sin0， sin2 cos2 1，sincos 815， ) 817sin .8172. cos _( 523 )答案：12解析：cos cos cos(17 )cos .( 523) 523 3 3 123. sin2()cos()cos()1_答案：2解析：原式(sin) 2(cos)cos1sin 2cos 212.4. (必修 4P21 例题 4 改编)已知 cos ，且 ，则(512 ) 13 2cos _ (12 )答案：223解析：cos cos (12 ) 2 (512 )sin .又 ，所以 (512 ) 2 712 512 .所以 sin ，所以 cos .12 (512
3、 ) 223 (12 ) 2235. (必修 4P22 习题 9(1)改编)已知 tan2，则 _sin( 2 ) cos( )sin( 2 ) sin（ ）答案：2解析： sin(2 ) cos（ ）sin(2 ) sin（ ） cos （ cos）cos sin 2.2coscos sin 21 tan 21 21. 同角三角函数的基本关系(1) 平方关系：sin 2cos 21(2) 商数关系：tan . sincos2. 诱导公式组数 一 二 三 四 五 六角 2k (kZ ) 2 2正弦 sin sin sin sin cos cosa余弦 cos cos cos cos sin s
4、in 正切 tan tan tan tan口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看象 限记忆规律：奇变偶不变，符号看象限备课札记题型 1 同角三角函数的基本关系式例 1 (必修 4P23 第 18 题改编)已知 是三角形的内角，且 sincos .15(1) 求 tan 的值；(2) 将 用 tan 表示出来，并求其值1cos2 sin2解：(1) (解法 1)联立方程 sin cos 15 ，sin2 cos2 1 ，)由得 cos sin，15将其代入，整理，得 25sin25sin 120. 是三角形内角， sin 45，cos 35，) tan .43(解法 2) sincos ，
5、 (sincos ) 2 ，即 12sin cos ， 15 (15)21252sincos ， (sincos) 212sin cos 1 .2425 2425 4925 sincos 0，cos 0， sin cos .75由 得 tan .sin cos 15，sin cos 75，) sin 45，cos 35，) 43(2) .1cos2 sin2 sin2 cos2cos2 sin2 tan2 11 tan2 tan ，43 1cos2 sin2 tan2 11 tan2 .( 43)2 11 ( 43)2 257变 式 训 练已知关于 x 的方程 2x2( 1)xm 0 的两根为
6、 sin 和 cos，且 (0，2)3(1) 求 的值；sin2sin cos cos1 tan(2) 求 m 的值；(3) 求方程的两根及此时 的值解：(1) 由韦达定理可知而 sin cos 3 12 ，sincos m2 ，) sin2sin cos cos1 tan sin cos .sin2sin cos cos2cos sin 3 12(2) 由两边平方得 12sin cos ，2 32将代入得 m .32(3) 当 m 时，原方程变为 2x2(1 )x 0，解得 x1 ，x 2 ，32 3 32 32 12 或sin 32cos 12) sin 12，cos 32.) (0，2)
7、， 或 .6 3例 2 (必修 4P23 第 10(2)题改编)化简：( )( )1 sin1 sin 1 sin1 sin 1 cos1 cos 1 cos1 cos解：原式( )( )( （1 sin）2cos2 （1 sin）2cos2 （1 cos）2sin2 （1 cos）2sin2 1 sin|cos|)( ) 1 sin|cos| 1 cos|sin| 1 cos|sin| 2sin|cos| 2cos|sin| 4，在 第 一 、三 象 限 时 ， 4，在 第 二 、四 象 限 时 .)备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知 sincos0，化简：cos sin _21 si
8、n21 sin2 21 cos21 cos2答案： sin2 (2 4)解析：sincos0， 为第四象限角， 为第二或四象限角2原式cos sin 21 sin2|cos2| 21 cos2|sin2|sin2 cos2(2为 第 二 象 限 角 )， sin2 cos2(2为 第 四 象 限 角 )，)原式 sin .2 (2 4)题型 2 利用诱导公式进行化简求值例 3 已知 sin(3)2cos(4)，求 的值sin（ ） 5cos（2 ）2sin(32 ) sin（ ）解： sin(3)2cos(4)， sin(3)2cos(4)， sin2cos，且 cos0. 原式 sin 5c
9、os 2cos sin 2cos 5cos 2cos 2cos .3cos 4cos 34备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知 cos() ，且角 在第四象限，计算：12(1) sin(2)；(2) (nZ)sin （2n 1） sin（ ）sin（ ）cos（ 2n ）解： cos( ) ， cos ，cos .12 12 12又角 在第四象限， sin .1 cos232(1) sin(2)sin2( )sin()sin .32(2) sin （2n 1） sin（ ）sin（ ）cos（ 2n） sin（ 2n ） sinsincos sin（ ） sinsincos 2sinsin
10、cos 2cos4.1. (2013广东文)已知 sin ，那么 cos_(52 ) 15答案：15解析：sin sin cos .(52 ) (2 ) 152. 已知a n为等差数列，若 a1a 5a 9，则 cos(a2a 8)_答案：12解析：由条件，知 a 1a 5a 93a 5， a5 ， cos(a2a 8)cos2a 5cos 3 23.123. 已知 sin ，且 ，则 tan_13 ( 2， )答案：24解析：因为 sin ， ，所以 cos ，从而 tan .13 (2，) 1 19 223 244. 已知 2tansin3， 0，则 cos( )_ 2 6答案：0解析：依
11、题意得 3，即 2cos23cos20，解得 cos 或2sin2cos 12cos 2(舍去 )又 0，因此 ，2 3故 cos cos cos 0.( 6) ( 3 6) 21. 已知 00，2sinxcosx 0 ， sinx cosx .1 2sinxcosx75(2) ， ，tanx .sinx cosxsinx cosx 17 tanx 1tanx 1 17 432. 已知 3cos2(x)5cos 1，求 6sinx4tan 2x3cos 2(x) 的值(2 x)解：由已知得 3cos2x5sinx1，即 3sin2x5sinx 20 ，解得 sinx 或13sinx2(舍去)这
12、时 cos2x1 ，tan 2x ，故 6sinx4tan 2x3cos 2(x)( 13)2 89 sin2xcos2x 186 4 3 .( 13) 18 89 2563. 已知在ABC 中，sinA cosA .15(1) 求 sinAcosA；(2) 判断ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3) 求 tanA 的值解：(1) 因为 sinAcosA ，两边平方得 12sinAcosA ，所以 sinAcosA15 125.1225(2) 由(1) sinAcosA 0，cosA0 ，所以 sinAcosA ，75所以由，可得 sinA ，cosA ，45 35则 tanA .sinA
13、cosA45 35 434. 已知 sin(3) ，求 13 cos（ ）cos cos（ ） 1的值cos（ 2 ）sin( 32)cos（ ） sin(32 )解：因为 sin(3)sin ，所以 sin .13 13原式 coscos（ cos 1） cos（2 ） sin(32 )cos（ ） cos 11 cos cos cos2 cos 18.11 cos 11 cos 21 cos2 2sin2 2( 13)21. 利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角 的范围进行确定2. 应熟练应用诱导公式诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤： 负角变正角，再写成2k(kZ)，02； 转化为锐角3. 在应用诱导公式时需先将角变形，有一定技巧，如化 为 或32 ( 2 )2 .( 2 )请 使 用 课 时 训 练 （A）第 2课 时 （见 活 页 ）.备课札记
