1、第一章,导数及其应用,11 变化率与导数,11.3 导数的几何意义,自主预习学案,下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞的切线方向飞出实际上物体(看作质点)做曲线运动时，运动方向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向，我们可以利用导数研究曲线的切线问题,1曲线的切线：过曲线yf(x)上一点P作曲线的割线PQ，当Q点沿着曲线无限趋近于P时，若割线PQ趋近于某一确定的直线PT，则这一确定的直线PT称为曲线yf(x)在点P的_,切线,切线的斜率,瞬时速度,1曲线yx2在点P(1,1)处的切线方程为( ) Ay2x By2x1 Cy2x1 Dy2x,B,B,3若曲线yf(x)
2、在点(x0，f(x0)处的切线方程为3xy10，则( ) Af (x0)0 Cf (x0)0 Df (x0)不存在 解析 由导数的几何意义可知曲线在(x0，f(x0)处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率，所以f (x0)3故选B,B,B,互动探究学案,命题方向1 求切线方程,典例 1,规律总结 1求曲线在点P(x0，y0)处切线方程的步骤： (1)求出函数yf(x)在点x0处的导数f (x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为yy0f (x0)(xx0)； 2过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤： (1)设切点为Q(x0，y0)； (2)求出函数yf(x)在点x0处的导
3、数f (x0)； (3)利用点Q在曲线上和f (x0)kPQ，解出x0，y0及f (x0) (4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为yy0f (x0)(xx0),3要正确区分曲线yf(x)在点P处的切线，与过点P的曲线yf(x)的切线 求曲线过点P的切线方程时，先验证点P是否在曲线上，再分别按上述1、2求解 4f (x0)0时，切线的倾斜角为锐角；f (x0)0时，切线的倾斜角为钝角；f (x0)0时，切线与x轴平行f(x)在x0处的导数不存在，则切线垂直于x轴或不存在,命题方向2 求切点的坐标,典例 2,(1，1),规律总结 切点问题的处理方法 (1)由条件得到直线的倾斜角或斜率，由这些信息
4、得知函数在某点的导数，进而求出点的横坐标 (2)解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾斜角和斜率的关系，直线平行或垂直与斜率的关系等,D,命题方向3 最值问题,若抛物线y4x2上的点P到直线y4x5的距离最短，求点P的坐标 思路分析 抛物线上到直线y4x5的距离最短的点，是平移该直线与抛物线相切时的切点解答本题可先求导函数，再求P点的坐标,典例 3,规律总结 求最值问题的基本思路：(1)目标函数法：通过设变量构造目标函数，利用函数求最值；(2)数形结合法：根据问题的几何意义，利用图形的特殊位置求最值,导数的几何意义的综合运用，主要是依据函数yf(x)在xx0处的导数，即曲线f(
5、x)在点x0处的切线的斜率去求切点坐标及切线方程，再利用题中所提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围以及直线间的位置关系等求解相关问题,导数几何意义的综合应用,已知直线l1为曲线yx2x2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2 (1)求直线l1，l2的方程； (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积,典例 4,规律总结 1导数的几何意义是指：曲线yf(x)在点(x0，y0)处的切线的斜率就是函数yf(x)在xx0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值 2运用导数几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否在曲线上，若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处曲线的切线的斜率；若点不在曲线上，则该点的导数值不是切线的斜率 3若所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解,B,过曲线yx3上的点P(1,1)作该曲线的切线，求过点P(1,1)的切线方程,对导数的几何意义理解不够深刻，导致判断错误,典例 5,点评 错误原因：求曲线上过某点的切线方程时，把该点作了切点，事实上也可能不是切点，甚至即便是切点也可能导数不存在 纠错心得：函数在某点处可导是曲线在该点存在切线的充分不必要条件，注意“在”和“过”的区别,C,C,D,
