1、5.3 直线与平面的夹角,1.理解直线与平面的夹角的概念. 2.会利用向量的方法求直线与平面的夹角.,学习目标,已知直线 与 的方向向量分别为 。当 时，直线 与 的夹角等于 ；当 时，直线 与 的夹角等于 。,复习回顾：,复习回顾,已知平面 和 的法向量分别为 。当 时，平面 与 的夹角 等于 ；当 时，平面 与 的夹角 等于 。,知识点一 直线与平面的夹角 (1)平面外一条直线与它在该平面内的 的夹角叫作该直线与此平面的夹角. (2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角为 . (3)如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角是 .(4)直线与平面
2、夹角的范围： .,答案,0,投影,自主学习，知识梳理,新课探究,课本45页“思考交流”。 1，直线与平面的夹角 和该直线的方向向量 与该平面的法向量 的夹角 是什么关系？ 2，如何用向量计算直线与平面的夹角？,合作交流,知识点二 直线与平面夹角的向量求法 设平面的直线l的方向向量为a，平面的法向量为n. (1)当a，n与，l的关系如图所示时，则l与所成角与a，n所成的角互余.即= -a，n所以sin cosa，n. (2)当a，n与，l的关系如图所示时，,则l与所成角与a，n所成的角之间的关系为= a，n-所以sin -cosa，n.,小试牛刀：,1，若直线 的方向向量与平面 的法向量的夹角等
3、于 ，则直线 与平面 所成的角等于 -。,2，若平面 的法向量为 ，直线 的方向向量为 ，直线 与平面 的夹角为 ，则下列关系式成立的是 （ ）,题型探究 重点突破,题型一 求直线与平面的夹角的基本方法 例1 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD的夹角.,解 方法一 连接BC1，B1C交于点O，连接A1O， 在正方体ABCDA1B1C1D1中， B1CBC1，BC1A1B1，B1CA1B1B1， BC1平面A1B1CD.故A1O为A1B在平面A1B1CD内的投影，即BA1O为A1B与平面A1B1C的夹角.,BA1O30. A1B与平面A1B1CD的夹角是30
4、.,方法二 如图所示，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则有A1(1,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，,设平面A1B1CD的一个法向量为n(x，y，z).,令x1，则有y0，z1，可取n(1,0,1).,则A1B与平面A1B1CD的夹角是30.,反思与感悟,求直线与平面的夹角的方法：思路一：找直线在平面内的投影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值). 思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用直线的方向向量与平面的法向量之间的夹角.利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：(1)建立空间直角坐标系；,(3)求平面的法向量n；,题型二 空
5、间夹角的综合应用 例2 四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD；ADPD，E、F分别为CD，PB的中点.(1)求证：EF平面PAB；,当堂检测,1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若B1MN90，则PMN的大小是( ) A.等于90 B.小于90 C.大于90 D.不确定,A,2.正方体 中，直线 与平面 夹角的正弦值为( ),C,问：余弦值呢？,课堂小结,利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量夹角的关系.首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系.,返回,一个公式，四个步骤,谢谢 下课,
