1、数学奥林匹克高中训练题(185)第一试1、填空题（每小题 8 分，共 64 分）1. 标号依次为 的 2015 个人排成一列，在他们之间做换位游戏，规定每次换位1,205只能在相邻两人间进行.现把标号为 100 号与编号为 1000 的两人交换位置，最少要进行次换位.2. 已知长方体 的长、宽、高分别为 ， 为平面 内的一点.1ABCD123、 、 P1ABD则 长的最小值为.P3. 不等式 的解集为.sincosxxAA4. 设 为 的内心，且 .则 的大小为.IBC3450IBIC5. 在平面直角坐标系中，已知 为原点，点 ，动点 在圆O(1,),3)ABC上运动.则 的最大值为.2(3)
2、4xy6. 已知 2015 个正整数 满足 ，12015,a 2,8a.则 的所有正因子之和为.1132()nnaN且 20147. 设 为正整数.从集合 中任取一个正整数 恰为方程 的,5 n236n解的概率为（ 表示不超过实数的最大整数）.x8. 已知 为方程 的三个不同的根.则、 、 3256780x的值为.22 2()()()二、解答题（共 56 分）9.（16 分）已知 .求 的最小值.0xyz、 、 222416(,)935xyzxfyz10.（20 分）已知数列 满足 ，且na121,(2)na.求 的表达式.1()log26()knakTf()f11.（20 分）已知离心率为
3、的椭圆的左焦点 为抛物线 的准线与 轴的121F24(0)ypxx交点,右焦点 也为抛物线的焦点,椭圆与抛物线在 轴上方的交点为 ,延长 ,与该抛物2FxP1F线交于点 为抛物线上一个动点,且 在点 与 之间运动若 的边长恰为三个QMMPQ12连续的正整数,求 面积的最大值.P加 试一、 （40 分）如图 1，圆内接四边形 的对角线 与 交于点 ， 的中点为ABCDBDNAC.若 ，证明： .M2BCND221MN二、 （40 分）在 中，证明： ，当ABCcoscoscos3222BCABABC且仅当 为正三角形时，上式等号成立.三、 （50 分）求最小的两个正整数 ，使得 为完全平方数.m247(6713)m四、(50 分)已知 是由 2015 个不同正整数组成的集合,并且 中任意三个不同的数均为一AA个非钝角三角形的三边长,此时称该三角形为集合 确定的一个三角形, 表示由 确定()SA的所有三角形的周长的和(全等三角形只计算一次)求 的最小值.()S
