1、1第三章 导数及其应用(时间：120 分钟；满分：160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请把答案填在题中横线上)1如果质点按规律 s(t) t2 t(距离单位：m，时间单位：s)运动，则质点在 3 s 时的瞬时速度为_解析：质点在 3 s 时的瞬时速度即 s(3)5 m/s.答案：5 m/s2设 f(x) xln x，若 f( x0)2，则 x0_.解析： f(x) xln x， f( x)ln x x ln x1，1x由 f( x0)2 得 ln x012， x0e.答案：e3若函数 f(x)2 x2ln x 在其定义域内的一个子区间( k1， k1)内
2、不单调，则实数 k 的取值范围是_解析： f(x)2 x2ln x 的定义域为(0，)，f( x)4 x ，由 f( x)0 得 x .1x 12由题意知Error!，解得 1 k2，则 f(x)2x4的解集为_解析：设 h(x) f(x)(2 x4)，则 h( x) f( x)20，故 h(x)在 R 上为增函数，又 h(1) f(1)20，当 x1 时， h(x)0，即 f(x)2x4.答案：(1，)9已知 f(x) x3 ax2( a6) x1 有极大值和极小值，则 a 的取值范围是_解析： f( x)3 x22 ax a6，由已知， f( x)0 应该有两个不等的实数根， 4 a212
3、( a6)0，解得 a6 或 a6 或 a0 得 3x2 x20，即 x1；23由 f( x) ， f(x)在 x2,2上的最大值为 7；15727 m 的取值范围为 m7.答案： m712方程 x36 x29 x100 的实根个数是_解析：设 f(x) x36 x29 x10，则 f( x)3 x212 x93( x1)( x3)，故函数f(x)在(，1)上为增函数，在(1,3)上为减函数，在(3，)上为增函数；而 f(1)6， f(3)10；故函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有 1 个交点，即方程x36 x29 x100 的实根个数是 1 个答案：113一火车锅炉每小时消耗煤的费用与火
4、车行驶的速度的立方成正比，已知当速度为每小时 20 千米时，每小时消耗的煤的费用为 40 元；火车行驶的其它费用为每小时 200 元，则火车行驶的速度为_(千米/小时)时，火车从甲城开往乙城的总费用最省(已知甲、乙两城距离为 a 千米，且火车最高速度为每小时 100 千米)解析：设火车速度为 x 千米/小时，每小时消耗的煤的费用为 p 元，依题意有p kx3(k 为比例系数)，由 x20 时， p40，解得 k ，故总费用1200y a (00，320当 x10 时， y 取最小值，即要使费用最省，火车速度应为 10 千米/小时320 320答案：10 32014设 a0， b0，e 是自然对
5、数的底数则下列结论正确的是_若 ea2 ae b3 b，则 ab；若 ea2 ae b3 b，则 ab；若 ea2 ae b3 b，则 a0， b0，e a2 ae b3 be b2 b beb2 b.对于函数 ye x2 x(x0)， ye x20， ye x2 x 在(0，)上单调递增，因而 ab 成立答案：二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 14 分) 设函数 f(x) x3 ax2 bx c 的图象如图所示，且与 y0在原点相切，若函数的极小值为4，(1)求 a， b， c 的值；(2)求函数的递减区间4解：(1)函
6、数的图象经过(0,0)点， c0，又图象与 x 轴相切于(0,0)点， y3 x22 ax b，030 22 a0 b，得 b0， y x3 ax2， y3 x22 ax；令 y0 得： x0 或 x a，23结合 f(x)图象知： a0，23当 0 a 时， y0；23 23当 x a 时，函数有极小值4；23 3 a 24，得 a3.(23a) ( 2a3) a3， b0， c0.(2)由(1)可得 f(x) x33 x2， f( x)3 x26 x0)， g(x) x3 bx.(1)若曲线 y f(x)与曲线 y g(x)在它们的交点(1， c)处具有公共切线，求 a， b 的值；(2)
7、当 a3， b9 时，若函数 f(x) g(x)在区间 k,2上的最大值为 28，求 k 的取值范围解：(1) f( x)2 ax， g( x)3 x2 b.因为曲线 y f(x)与曲线 y g(x)在它们的交点(1， c)处具有公共切线，所以 f(1) g(1)，且 f(1) g(1)，即 a11 b，且 2a3 b，解得 a3， b3.(2)记 h(x) f(x) g(x)，当 a3， b9 时，h(x) x33 x29 x1，h( x)3 x26 x9.令 h( x)0，得 x13， x21.h(x)与 h( x)在(，2上的变化情况如下：x (，3) 3 (3,1) 1 (1,2) 2
8、h( x) 0 0 h(x) 28 4 3由此可知：当 k3 时，函数 h(x)在区间 k,2上的最大值为h(3)28；当30；(0，203) (203， 20)在区间(0,20)上，当 x 时， y 取最小值203故当点 C 位于距 A 点 km 处时，该点的烟尘浓度最低203619(本小题满分 16 分) 如图，四边形 ABCD 是一块边长为 4 km 的正方形地域，地域内有一条河流 MD，其经过的路线是以 AB 的中点 M 为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)的一部分新世纪公司准备投资建一个大型矩形游乐园 PQCN，问如何施工才能使游乐园面积最大？并求出最大面积解：以 M 为原点
9、， AB 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 D(4，2)设抛物线方程为 y22 px(p0)由点 D 在抛物线上，得 228 p，解得 p .12抛物线方程为 y2 x(0 x4， y0)设 P(y2， y)(0 y2)是曲线 MD 上任一点，则 PQ2 y， PN4 y2，矩形游乐园面积 S PQPN(2 y)(4 y2)8 y32 y24 y. S3 y24 y4，令 S0，解得 y 或 y2(舍去)23当 y 时， S0， S 为增函数；(0，23)当 y 时， S0)(1)若 f(2)0，求 f(x)在点(2， f(2)处的切线方程；(2)若函数 f(x) x3 kx(k0)在1，)上是单调函数，设 x01， f(x0)1，且满足 f(f(x0) x0，已知 00)，Error! ，两式相减得( x m3) k(x0 m) m x0，30即( x0 m)(x m2 x0m1 k)0.20 x01， f(x0)1 即 m1， x m2 x0m1 k4 k，而 00，从而只有 x0 m0，20即 m x0， f(x0) x0.
