1、1第二章 2.1 2.1.2 离散型随机变量的分布列A 级 基础巩固一、选择题1已知随机变量 X 的分布列为： P(X k) ， k1、2、，则 P(2 X4)( A )12kA B316 14C D116 516解析 P(2 X4) P(X3) P(X4) 123 124 3162(2017扶余县校级期末)随机变量 X 的分布列为 P(X k) a( )k(k1,2,3)，则12a 的值为( B )A1 B87C D47 67解析 随机变量 X 的分布列为 P(X k) a( )k(k1,2,3)，12 a ( )2( )31，12 12 12 a 87故选 B3一个袋中有 6 个同样大小的
2、黑球，编号为 1,2,3,4,5,6，还有 4 个同样大小的白球，编号为 7,8,9,10.现从中任取 4 个球，有如下几种变量： X 表示取出的球的最大号码； Y 表示取出的球的最小号码；取出一个黑球记 2 分，取出一个白球记 1 分， 表示取出的 4 个球的总得分； 表示取出的黑球个数这四种变量中服从超几何分布的是( B )A BC D解析 依据超几何分布的数学模型及计算公式，或用排除法4已知随机变量 的分布列为 P( i) (i1,2,3)，则 P( 2)( C )i2a2A B19 16C D13 14解析 由离散型随机变量分布列的性质知 1， 1，即 a3，12a 22a 32a 6
3、2a P( 2) 1a 135袋中有 10 个球，其中 7 个是红球，3 个是白球，任意取出 3 个，这 3 个都是红球的概率是( B )A B1120 724C D710 37解析 P C37C03C310 7246已知在 10 件产品中可能存在次品，从中抽取 2 件检查，其次品数为 ，已知P( 1) ，且该产品的次品率不超过 40%，则这 10 件产品的次品率为( B )1645A10% B20%C30% D40%解析 设 10 件产品中有 x 件次品，则 P( 1) ， x2 或 8C1xC 110 xC210 x 10 x45 1645次品率不超过 40%， x2，次品率为 20%21
4、0二、填空题7设随机变量 的概率分布为 P( k) ， k0、1、2、3，则 c_ _ck 1 1225解析 c 1， c c2 c3 c4 12258从装有 3 个红球、2 个白球的袋中随机取出 2 个球，设其中有 个红球，则随机变量 的概率分布列为 0 1 2P _0.1_ _0.6_ _0.3_3解析 P( 0) 0.1，C2C25P( 1) 0.6， P( 2) 0.3C13C12C25 C23C259已知离散型随机变量 X 的分布列 P(X k) ， k1、2、3、4、5，令 Y2 X2，k15则 P(Y0)_ _1415解析 由已知 Y 取值为 0、2、4、6、8，且 P(Y0)
5、， P(Y2) ， P(Y4)115 215 ， P(Y6) ， P(Y8) .则 P(Y0) P(Y2) P(Y4) P(Y6) P(Y8)315 15 415 5151415三、解答题10某学院为了调查本校学生 2015 年 9 月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了 40 名本校学生作为样本，统计他们在该月 30 天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：0,5，(5,10，(10,15，(25,30，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示(1)根据频率分布直方图，求这 40 名学生中健康上网天数超过 20 天的人数；(2)现从这 40 名学生中
6、任取 2 名，设 Y 为取出的 2 名学生中健康上网天数超过 20 天的人数，求 Y 的分布列解析 (1)由图可知，健康上网天数未超过 20 天的频率为(0.010.020.030.09)50.1550.75，所以健康上网天数超过 20 天的学生人数是 40(10.75)400.2510(2)随机变量 Y 的所有可能取值为 0、1、2P(Y0) ；C230C240 2952P(Y1) ；C10C130C240 513P(Y2) C210C240 352所以 Y 的分布列为：4Y 0 1 2P 2952 513 352B 级 素养提升一、选择题1随机变量 的概率分布列为 P( k) ， k1、2
7、、3、4，其中 c 是常ck k 1数，则 P 的值为( D )(12 52)A B23 34C D45 56解析 c12 c23 c34 c45 c(112) (12 13) (13 14) (14 15) c1. c 45 54 P P( 1) P( 2)(12 52) 54( 112 123) 562将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为 m 和 n，则函数 y mx3 nx1 在231，)上为增函数的概率是( B )A B12 56C D34 23解析 由题可知，函数 y mx3 nx1 在1，)上单调递增，所以23y2 mx2 n0 在1，)上恒成立，所以 2m n，则不满足条件的(
8、 m， n)有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共 6 种情况，所以满足条件的共有 30 种情况，则函数 y mx3 nx1 在1，)上单调递增的概率为 P ，故选 B23 3036 56二、填空题3从 6 名男同学和 4 名女同学中随机选出 3 名同学参加一项竞技测试，则在选出的 35名同学中，至少有一名女同学的概率是_ _56解析 从 10 名同学中选出 3 名同学有 C 种不同选法，在 3 名同学中没有女同学的310选法有 C 种，所求概率为 P1 36C36C310 564一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级
9、产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量 ，则 P( 1)_ _12解析 依题意， P( 1)2 P( 2)， P( 3) P( 2)， P( 3) P( 4)，由分布列性质得121 P( 1) P( 2) P( 3) P( 4)，4P( 2)1， P( 2) ， P( 3) 14 18 P( 1) P( 2) P( 3) P( 4) 12三、解答题5某校 20172018 学年高二年级某班的数学课外活动小组有 6 名男生，4 名女生，从中选出 4 人参加数学竞赛考试，用 X 表示其中男生的人数(1)请列出 X 的分布列；(2)根据你所列的分布列求选出的 4 人中
10、至少有 3 名男生的概率解析 (1)依题意得，随机变量 X 服从超几何分布，随机变量 X 表示其中男生的人数， X 可能取的值为 0,1,2,3,4 P(X k) ， k0,1,2,3,4Ck6C4 k4C410 X 的分布列为：X 0 1 2 3 4P 1210 435 37 821 114(2)由分布列可知选出的 4 人中至少有 3 名男生的概率为：即 P(X3) P(X3) P(x4) 821 114 19426(2018长春高二检测)盒子中装着标有数字 1、2、3、4、5 的卡片各 2 张，从盒子中任取 3 张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用 表示取出的 3 张卡片上的最大数6字
11、，求：(1)取出的 3 张卡片上的数字互不相同的概率；(2)随机变量 的概率分布解析 (1)记“一次取出的 3 张卡片上的数字互不相同的事件”为 A，则 P(A) C35C12C12C12C310 23(2)由题意 可能的取值为 2、3、4、5，P( 2) ，C2C12 C12C2C310 130P( 3) ，C24C12 C14C2C310 215P( 4) ，C26C12 C16C2C310 310P( 5) C28C12 C18C2C310 815所以随机变量 的分布列为： 2 3 4 5P 130 215 310 815C 级 能力拔高(2017福建模拟)持续性的雾霾天气严重威胁着人们
12、的身体健康，汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一为此，某城市实施了机动车尾号限行措施，该市某报社调查组为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了 50 人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄(岁) 15,25) 25,35) 35,45) 45,55) 55,65) 65,75频数 5 10 15 10 5 5赞成人数 4 6 9 6 3 4(1)请估计该市公众对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值；(2)若从年龄在15,25)，25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4 人中不赞成“车辆限行”的人数为 ，求随机变量 的分布列；(3)若在这 50 名被调查者中
13、随机发出 20 份的调查问卷，记 为所发到的 20 人中赞成“车辆限行”的人数，求使概率 P( k)取得最大值的整数 k解析 (1)该市公众对“车辆限行”的赞成率约为 100%64%，被调查者年龄的32507平均值约为：43(岁)205 3010 4015 5010 605 70550(2)依题意得 0,1,2,3P( 0) ，C24C25 C26C210 610 1545 15P( 1) ，C14C25 C26C210 C24C25 C14C16C210 410 1545 610 2425 102225 3475P( 2) ，C14C25 C14C16C210 C24C25 C24C210 410 2445 610 645 66225 2275P( 3) ，C14C25 C24C210 410 645 12225 475所以 的分布列是： 0 1 2 3P 15 3475 2275 475(3)因为 P( k) ，其中 k2,3,4，20，所以 Ck32C20 k18C205 P k 1P k ，Ck 132C19 k18Ck32C20 k18 32 k 20 k k 1 k 1当 1，即 k12 时， P( k1) P( k)；当 32 k 20 k k 1 k 1 175212 时， P( k1) P( 14) P( 15) P( 20)故有P( k)取得最大值时 k13
