1、11.3.1 单调性学习目标 重点难点1结合实例，借助几何直观探索并体会函数的单调性与导数的关系2能够利用导数研究函数的单调性，并学会求不超过三次的多项式函数的单调区间.重点：利用导数求函数的单调区间和判断函数的单调性难点：根据函数的单调性求参数的取值范围.导数与函数的单调性的关系(1)一般地，我们有下面的结论：对于函数 y f(x)，如果在某区间上_，那么f(x)为该区间上的_；如果在某区间上_，那么 f(x)为该区间上的_(2)上述结论可以用下图直观表示预习交流 1做一做：在区间( a， b)内， f( x)0 是 f(x)在( a， b)上为单调增函数的_条件(填序号)充分不必要 必要不
2、充分 充要 既不充分又不必要预习交流 2做一做：函数 f(x)1 xsin x 在(0,2)上是_函数(填“增”或“减”)预习交流 3做一做：函数 f(x) x3 ax2 在区间(1，)上是增函数，则实数 a 的取值范围是_在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点答案：预习导引(1)f( x)0 增函数 f( x)0 减函数预习交流 1：提示：当 f( x)0 时， f(x)在( a， b)上一定是增函数，当 f(x)在( a， b)上单调递增时，不一定有 f( x)0.如 f(x) x3在区间(，)上单调递增， f( x)0.故填.2预习交
3、流 2：提示： x(0,2)， f( x)(1 xsin x)1cos x0， f(x)在(0,2)上为增函数故填增预习交流 3：提示： f( x)3 x2 a， f(x)在区间(1，)上是增函数， f( x)3 x2 a 在(1，)上恒大于或等于 0，即 3x2 a0， a3 x2恒成立， a3.一、判断或证明函数的单调性证明函数 f(x) 在 上单调递减sin xx ( 2， )思路分析：要证 f(x)在 上单调递减，只需证明 f( x)0 在区间 上恒( 2， ) ( 2， )成立即可1讨论下列函数的单调性：(1)y ax51( a0)；(2)y ax a x(a0，且 a1)2证明函数
4、 f(x)e xe x在0，)上是增函数利用导数判断或证明函数的单调性时，一般是先确定函数定义域，再求导数，然后判断导数在给定区间上的符号，从而确定函数的单调性如果解析式中含有参数，应进行分类讨论二、求函数的单调区间求下列函数的单调区间：(1)y x2ln x；12(2)y x32 x2 x；(3)y xsin x， x(0，)12思路分析：先求函数的定义域，再求 f( x)，解不等式 f( x)0 或 f( x)0，从而得出单调区间1函数 f(x)5 x22 x 的单调增区间是_2求函数 f(x)3 x22ln x 的单调区间1.利用导数求函数 f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式 f
5、( x)0 或 f( x)0，不等式的解集就是函数的单调区间2利用导数求单调区间时，要特别注意不能忽视函数的定义域，在解不等式 f( x)0或 f( x)0时，要在函数定义域的前提之下求解3如果函数的单调区间不止一个时，要用“和” 、 “及”等词连接，不能用并集“”连接三、利用函数的单调性求参数的取值范围若函数 f(x) x3 ax2( a1) x1，在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，)上13 12为增函数，试求实数 a 的取值范围思路分析：先求出 f(x)的导数，由 f( x)在给定区间上的符号确定 a 的取值范围，要注意对 a1 是否大于等于 1 进行分类讨论31若函数 f(x) x
6、2 在(1，)上单调递增，则实数 a 的取值范围是ax_2已知向量 a( x2， x1)， b(1 x， t)，若函数 f(x) ab 在(1,1)上是增函数，求 t 的取值范围1.已知函数的单调性求参数的范围，这是一种非常重要的题型在某个区间上， f( x)0(或 f( x)0)， f(x)在这个区间上单调递增(递减)；但由 f(x)在这个区间上单调递增(递减)而仅仅得到 f( x)0(或 f( x)0)是不够的，即还有可能f( x)0 也能使得 f(x)在这个区间上单调，因而对于能否取到等号的问题需要单独验证2一般地，若 f(x)在区间 I 上单调递增(递减)，可转化为 f( x)0(0)
7、在 I 上恒成立，进而可求得参数的取值范围1函数 f(x) x3 x2 x 的单调递减区间是_2函数 f(x)( x3)e x的单调递增区间是_3如下图所示是函数 f(x)的导函数 f( x)的图象，则下列判断中正确的是_(填序号) f(x)在(3,1)上单调递增 f(x)在(1,3)上单调递减 f(x)在(2,4)上单调递减 f(x)在(3，)上单调递增4若函数 f(x) x3 ax5 的单调递减区间是(2,2)，则实数 a 的值为_5已知函数 f(x)2 ax x3， x(0,1， a0，若 f(x)在(0,1上是增函数，则 a 的取值范围为_提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精
8、华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记知识精华 技能要领答案：活动与探究 1：证明： f(x) ，sin xx f( x) ，(sin x) x sin x(x)x2 xcos x sin xx24由于 x ，( 2， )所以 cosx0，sin x0，因此 xcosxsin x0，故 f( x)0，所以 f(x)在 上单调递减( 2， )迁移与应用：1解：(1) y5 ax4，且 a0， y0 在 R 上恒成立 y ax51 在 R 上是增函数(2)y axln a a xln a( x)( ax a x)ln a.当 a1 时，ln a0， ax a x0， y0 在 R 上恒成立此时
9、函数 y ax a x 在 R 上是增函数当 0 a1 时，ln a0， ax a x0， y0 在 R 上恒成立此时函数 y ax a x在 R 上是减函数2证明： f( x)(e x) (1ex)e x e xe x .(1ex) (ex)2 1ex当 x0，)时 ex1， f( x)0， f(x)e xe x在0，)上为增函数活动与探究 2：解：(1)函数的定义域为(0，) y x2ln x，12 y x .1x x2 1x令 y0，即 0.x2 1x又 x0，Error! x1.令 y0，即 0，x2 1x又 x0， x210，0 x1.函数 y f(x)的增区间为(1，)，减区间为(
10、0,1)(2) y x32 x2 x， y3 x24 x1，定义域为 R.令 3x24 x10，得 x1 或 x .13令 3x24 x10，得 x1.13函数 y x32 x2 x 的增区间为 和(1，)，减区间为 .( ，13) (13， 1)(3) y xsin x， y cos x.12 12令 y0，得 cosx .12又 x(0，)，0 x .235令 y0，得 cosx .12又 x(0，)， x.23函数 y xsin x 的增区间为 ，减区间为 .12 (0， 23) (23， )迁移与应用：1 解析： f( x)10 x2，由 f( x)0，得 x .(15， ) 152解
11、：函数的定义域为(0，)， f( x)6 x 2 .2x 3x2 1x令 f( x)0，得 x1 ， x2 ，其中 x2不在定义域内用 x1分割定义域，得下33 33表x (0， 33) 33 (33， )f( x) 0 f(x) AA函数 f(x)的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .(0，33) (33， )活动与探究 3：解： f( x) x2 ax a1，令 f( x)0，解得 x1 或 x a1.当 a11，即 a2 时，函数 f(x)在(1，)上为增函数，不符合题意当 a11，即 a2 时，函数 f(x)在(，1)上为增函数，在(1， a1)内为减函数，在( a1，)上为增函数依题
12、意知，当 x(1,4)时， f( x)0，当 x(6，)时， f( x)0.4 a16，即 5 a7. a 的取值范围是5,7迁移与应用：12，) 解析： f( x)2 x ，令 f( x)0，即 2x 0， a2 x3，ax2 ax2由于 g(x)2 x3在(1，)上满足 g(x) g(1)2，要使 a2 x3在(1，)上恒成立，应有 a2.2解：由题意得 f(x) x2(1 x) t(x1) x3 x2 tx t，则 f( x)3 x22 x t.若 f(x)在(1,1)上是增函数，则在(1,1)上 f( x)0. f( x)的图象是开口向下的抛物线，当且仅当 f(1) t10，且 f(1
13、) t50 时， f( x)在(1,1)上满足f( x)0，即 f(x)在(1,1)上是增函数故 t 的取值范围是 t5.当堂检测1 解析： f( x)3 x22 x1，令 3x22 x10 解得1 x ，( 1，13) 13故函数的单调递减区间是 .( 1，13)2(2，) 解析： f( x)( x3)e x( x3)(e x)( x2)e x.令 f( x)0，解得 x2.3 解析：由 f(x)的增减性与 f( x)的正负之间的关系进行判断，当 x(2,4)时， f( x)0，6故 f(x)在(2,4)上单调递减故正确判断均错412 解析： f( x)3 x2 a，依题意 3x2 a0 的解集为(2,2)，故 a12.5 a 解析：依题意 f( x)3 x22 a0 在(0,1上恒成立，即 a x2，32 32而 g(x) x2在(0,1上的最大值为 ，32 32故 a .32
