1、第1讲 实数及其运算,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,知识点一 实数及其分类,1.实数: 有理数 和无理数统称为实数, 整数 和分数统称为有理数.,2.实数的分类 实数,温馨提示 1.常见的无理数类型:根号型,如 、 等开不尽 方的实数;含型,如 、+5等化至最简后含的数;三角函数型,如sin 60、tan 60等;省略型,如1.010 010 001(每相邻两个1之间0的个数依次增加1)等无限不循环小数.,2.在无理数常见的类型中,三角函数表示的数不一定都是无理数, 如sin 30等.,知识点二 实数的相关概念及性质,温馨提示 1.绝对值是a(a0)的数有两个,它们互为相反数,即a.,
2、2.绝对值相等的两个数相等或互为相反数,即若|a|=|b|,则a=b或 a + b =0.,3.任意实数的绝对值都是非负数,即|a|0.,4.绝对值等于它本身的数是非负数,在数轴上,绝对值越大的数所对应的点离原点越远.,5.若|a|=a,则a0;若|a|= -a,则a0.,6.相反数等于它本身的数是0,倒数等于它本身的数是1,平方等于它本身的数是1和0.,知识点三 实数的大小比较,1.数轴比较法:将两个实数分别表示在数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.,2.性质比较法:正数大于0,负数小于0,正数大于负数;两个负数相比较,绝对值大的反而小.,3.作差比较法:设a、b是任意两个实数,
3、若a-b0,则ab;若a-b=0,则a=b;若a b 0,则a b.,4.特殊比较法:(1)作商法:当a0,b0时,若 1,则ab;若 =1,则a= b;若 1,则a b. (2)估算法. (3)平方法:当a0,b0时,若a2b2,则ab;当ab2,则a0,b0,或a ,则ab.,知识点四 实数的混合运算,1.零次幂、负整数指数幂:若a0,则a0= 1 ;若a0,p为正整数,则a-p= .,2.实数运算中常用的运算律 运算律,3.实数范围内的运算顺序:先算乘方、开方,再算 乘除 ,最 后算 加减 ;有括号的,先算括号内的,按小括号、中括号、 大括号依次进行;同级运算要从左到右依次进行.,4.非
4、负数性质的应用:若n个非负数的和为0,则这n个非负数同时为 0 .如|a|+b2+ =0,则 a =b =c =0 .,知识点五 科学记数法与近似数,1.科学记数法:将一个数N表示成 a10n (其中 1|a|10 ,n是整数)的形式叫做科学记数法.,2.近似数:接近但不是实际的数或在计算中按要求所取得的与某个准确数接近的数,叫做近似数.一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.,3.精确度:近似数的精确度是指这个数精确到数字的实际位数. 温馨提示 (1)若|N|10,则N=a10n,其中1|a|10,n等于N的整数位数减1. (2)若|N |1,则N=a10n,其中1|a|10
5、,n是一个负整数,其绝对值等于N的第一个不是0的数字前面0的个数. (3)含有数字单位(如亿、万、千)的数用科学记数法表示时,先把 数字单位转换成数字.,泰安考点聚焦,考点一 实数的相关概念 中考解题指导 实数的相关概念有数轴、相反数、绝对值、倒 数等,解答此类问题的思路:根据相关概念及意义直接求值. 考向1 相反数及倒数,例1 (2018枣庄)- 的倒数是 ( A ) A.-2 B.2 C. D.-,变式1-1 2 016的倒数是 ( D ) A.-2 016 B.- C.2 016 D.,变式1-2 (-2)3的相反数为 ( B ) A.-6 B.8 C.- D.,考向2 结合数轴进行命题
6、,例2 (2016泰安)如图,四个实数m、n、p、q在数轴上对应的点分别为M、N、P、Q,若n + q =0,则m、n、p、q四个实数中,绝对值最大的一个是 ( A )A. p B. q C. m D. n,解析 n+q=0,n和q互为相反数,原点在线段NQ的中点处, 绝对值最大的是点P表示的数p,故选A.,变式2-1 (2018枣庄)如图,实数a,b,c,d在数轴上对应的点分别为 A、B、C、D,则下列关系式不正确的是 ( B ) A.|a|b| B.|ac|=ac C.b0,解析 由题图可知:a c 1, A.|a|b|,正确; B.a、c异号,则|ac|= -ac,错误; C.B 0,正
7、确. 故选B.,变式2-2 (2017广东)已知实数a,b在数轴上对应的点A,B的位置 如图所示,则a+b 0.(填“”“”或“=”)方法技巧 (1)求一个数的倒数时,先确定符号,然后根据定义 进行乘法运算,看结果是不是1;(2)求一个数的相反数时,只需改变 原数的符号,0的相反数是0;(3)求一个数的绝对值时,必须遵循 “先判断其正负,再去绝对值符号”的法则,绝对值符号里面的数 若是正数,直接去掉绝对值符号,若是负数,则变成它的相反数.,考点二 平方根、算术平方根及立方根 中考解题指导 求一个数的平方根、算术平方根及立方根时,若 此数含有根号,应先化简,再求值.,例3 (-2)2的平方根是
8、( C ) A.2 B.-2 C.2 D.,解析 首先求出(-2)2的值,是4,再求出4的平方根,是2,故选C.,变式3-1 的算术平方根是 ( C ) A.2 B.-2 C. D.,解析 首先求出 的值,是2,然后根据算术平方根的定义求出2的算术平方根,是 .故选 C.,考点三 实数的大小比较 中考解题指导 实数的大小比较要灵活选用方法,要重视数轴比 较法、性质比较法、作差比较法,也要掌握作商法、平方法、倒 数法等.,例4 (2018临沂)在实数-3,-1,0,1中,最小的数是 ( A ) A.-3 B.-1 C.0 D.1,解析 -3-101, 最小的数是-3. 故选A.,变式4-1 (2
9、017泰安)下列四个数:-3,- ,-,-1,其中最大的数是 ( C ) A.- B.-3 C.-1 D.-,解析 -3- -1,故选C.,变式4-2 (2017甘肃)估计 与0.5的大小关系是 0.5.(填“”“”或“=”),解析 采用作差法求解, -0.5= . 因为 -20,所以 0.5. 方法技巧 (1)比较有理数的大小时,可运用正负性进行比较或 借助数轴进行比较;(2)若一组数中含有带根号的无理数,一般可 采用平方法进行比较;(3)若一组数中含有,一般采用取近似值法 进行比较.,考点四 科学记数法 中考解题指导 涉及科学记数法的题有两类:一是将一个数用科 学记数法表示;二是将用科学记
10、数法表示的数还原.,例5 (2018泰安)一个铁原子的质量是0.000 000 000 000 000 000 000 000 093 kg,将这个数用科学记数法表示为 9.310-26 .,变式5-1 (2017泰安)“2014年至2016年,中国同一带一路沿 线国家贸易总额超过3万亿美元”.将3万亿用科学记数法表示为 ( C ) A.31014 B.31013 C.31012 D.31011,解析 3万亿即3 000 000 000 000,3 000 000 000 000=31012,故选C.,方法技巧 (1)科学记数法的表示形式为a10n,其中1|a|10,n为整数,表示时要正确确定
11、a的值以及n的值;(2)对于含有计数单 位的数,需要先利用1亿=1108,1万=1104,1千=1103等将计数单位转换,然后用科学记数法表示.,考点五 实数的运算 中考解题指导 实数的混合运算要综合运用绝对值、算术平方 根、立方根、三角函数、零指数幂和负整数指数幂等知识,同时 要注意运算顺序. 考向1 实数的混合运算,例6 (2018泰安)计算-(-2)+(-2)0的结果是 ( D ) A.-3 B.0 C.-1 D.3,解析 原式=2+1=3,故选D.,变式6-1 若()-(-2)=3,则括号内的数是 ( B ) A.-1 B.1 C.5 D.-5,解析 1-(-2)=3,故选B.,变式6
12、-2 计算: -|- +2|+( -1.414)0-3tan 30- .,解析 原式=4-(2- )+1-3 -2=4-2+ +1- -2=1.,考向2 非负数性质的应用,例7 已知|x-y+2|+ =0,则x2-y2的值为 -4 .,解析 根据非负数的性质可得 所以x y = -2,x+y=2,所以x2-y2=(x-y)(x+y)=-4,故答案为-4.,变式7-1 若 +|2a-b+1|=0,则(b-a)2 015的值为 -1 .,解析 由题意得 解得 所以(b-a)2 015=-1.方法技巧 在进行实数的混合运算时,一是要注意运算顺序;二 是要注意符号的变化,要特别注意的是负数的整数次幂以
13、及有绝 对值时的符号的确定.如果几个非负数的和等于0,那么这几个非 负数都等于0.,随堂巩固训练,一、选择题 1.(2018德州)3的相反数是 ( C ) A.3 B. C.-3 D.-,2. 的相反数的倒数是 ( D ) A. B.- C.3 D.-3,解析 = , 的相反数是- ,- 的倒数是-3.,3. 的算术平方根是 ( C ) A.2 B.2 C. D.,解析 因为 =2,所以求 的算术平方根即求2的算术平方, 根据算术平方根的定义可知2的算术平方根为 ,故选C.,4.地球的表面积约为510 000 000 km2,将510 000 000用科学记数 法表示为 ( C ) A.0.51109 B.5.1109 C.5.1108 D.0.51107,5.(2018青岛)如图,点A所表示的数的绝对值是 ( A )A.3 B.-3 C. D.-,解析 因为点A表示的数为-3,所以点A表示的数的绝对值是3,即 |-3|=3.,二、填空题,6.比较大小:2 (填“”).,解析 34, ,即 2.,三、解答题,7.(2018枣庄)计算:| -2|+sin 60- - +2-2.,解析 原式=2- + -3 - + = - .,
