1、3.2 函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型,课标要求:1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长差异.2.结合实例体会直线上升,对数增长,指数爆炸等不同函数类型增长的含义.3.会分析具体的实际问题,建模解决实际问题.,自主学习,课堂探究,自主学习新知建构自我整合,【情境导学】,导入 在同一坐标系内观察图象(1)y=2x,y=3x,y=4x; (2)y=log2x,y=log3x,y=log4x;(3)y=x2,y=x3,y=x4; (4)y=2x,y=log2x,y=x2.,想一想 指数函数,对数函数底数大于1时增长快慢有什么规律?幂函数的幂指数大于0且不相同时增长
2、快慢如何? (由图象可知,指数函数在x0时,底数越大增长得越快,对数函数在x1时底数越大增长得越慢,幂函数在x1时指数越大增长得越快),1.三种函数模型的性质,知识探究,上升,上升,上升,2.三种函数的增长速度比较 (1)在区间(0,+)上,函数y=ax(a1),y=logax(a1)和y=xn(n0)都是,但 不同,且不在同一个“档次”上.,增函数,(2)随着x的增大,y=ax(a1)增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn (n0)的增长速度,而y=logax(a1)的增长速度 . (3)存在一个x0,当xx0时,有 .,增长速度,越来越慢,logaxxnax,自我检测,C,2.(增长速
3、度比较)下列函数中,增长速度最快的是( ) (A)y=20x (B)y=x20 (C)y=log20x (D)y=20x,A,3.(函数模型)对于两个变量x,y有如下一组数据,答案:y= x2(x0),则x,y间拟合效果最好的曲线方程是( ) (A)y=log2x (B)y=2x (C)y=2x (D)y=x2,C,4.(函数模型)若长方形的长x是宽的2倍,则该长方形的面积y与x之间的关系式为 .,题型一,图象信息迁移问题,课堂探究典例剖析举一反三,【例1】 如图所示,折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象,根据图象填空: (1)通话2分钟,
4、需付电话费 元; (2)通话5分钟,需付电话费 元;,解析:(1)由题中图象可知,当0t3时,电话费都是3.6元. (2)由题中图象可知,当t=5时,y=6,需付电话费6元. 答案:(1)3.6 (2)6,(3)如果t3,则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为.,答案:(3)y=1.2t(t3),方法技巧 解答图象信息迁移题的方法 (1)明确横轴,纵轴的意义,如本题中横轴t表示通话时间,纵轴y表示电话费; (2)从图象形状上判定函数模型,如本题中在区间0,3和3,+)上均是直线型; (3)抓住特殊点的实际意义,特殊点一般包括最高点(最大值点)、最低点(最小值点)及折线的拐角点等
5、; (4)通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题为数学问题.,即时训练1-1:甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( ) (A)甲比乙先出发 (B)乙比甲跑的路程多 (C)甲、乙两人的速度相同 (D)甲先到达终点,解析:由题图可知甲、乙同时出发,且所跑路程相同,因为甲所用时间较少,所以甲先到达终点.综上,选D.,【备用例1】 一天,亮亮发烧了,早晨他烧得很厉害,吃过药后感觉好多了,中午时亮亮的体温基本正常,但是下午他的体温又开始上升,直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫.下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时24时)体温的变化情况的是( ),解析:观察
6、图象A,体温逐渐降低,不合题意;图象B不能反映“下午体温又开始上升”;图象D不能体现“下午体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫”.故选C.,【备用例2】 某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况,从某码头乘汽艇出发,沿直线方向匀速开往该岛,靠近岛时,绕小岛环行两周后,把汽艇停靠岸边,上岸考察,然后又乘汽艇沿原航线提速返回.设t为出发后的某一时刻,s为汽艇与码头在时刻t的距离,下列图象中能大致表示s=f(t)的函数关系的为( ),解析:当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时,s=vt,图象为一条线段;当环岛两周时,s两次增至最大,并减少到与环岛前的距离s0;上岸考察时,s= s0;
7、返回时,s=s0-vt,图象为一条线段.所以选C.,题型二,常见函数模型增长趋势的比较,【例2】 函数f(x)=2x和g(x)=x3(x0)的图象,如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2. (1)请指出示意图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数;,解:(1)C1对应的函数为g(x)=x3(x0),C2对应的函数为f(x)=2x.,(2)结合函数图象,比较f(8),g(8),f(2 015),g(2 015)的大小.,解:(2)因为g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729,f(9)=512,g(10) =1 000,f(10)=
8、1 024, 所以f(1)g(1),f(2)g(10). 所以1x2时,f(x)g(x),且g(x)在(0,+)上是增函数, 所以f(2 015)g(2 015)g(8)f(8).,方法技巧 由指数函数、对数函数增长的规律识别图象,即指数函数增长的速度越来越快,在某一位置会远远超过幂函数的增长,总存在x0,使xx0时,axx.,解:(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1, C2对应的函数为f(x)=lg x. (2)当x(0,x1)时,g(x)f(x), 当x(x1,x2)时,g(x)f(x).,即时训练2-1:函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示. (1)指出图
9、中曲线C1,C2分别对应哪一个函数; (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).,题型三,函数模型的选取,【例3】 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件,为估测以后每个月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y和月份x的关系,模拟函数可以选用二次函数y=ax2+bx+c或函数y=abx+c(其中a,b,c为常数,a0,b0且b1).已知4月份该产品的产量为1.37万件,问用上述哪一种函数作为模拟函数好?请说明理由.,方法技巧 开放型的探究题,函数模型不是确定的,需要我们去探索,去尝试,找到
10、最合适的模型,解题过程一般为: (1)用待定系数法求出函数解析式; (2)检验:将(1)中求出的几个函数模型进行比较、验证,得出最适合的函数模型; (3)利用所求出的函数模型解决问题.,即时训练3-1:某工厂生产一种电脑元件,每月的生产数据如表:,为估计以后每月对该电脑元件的产量,以这三个月的产量为依据,用函数y=ax+b或y=ax+b(a,b为常数,且a0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份x的关系.请问:用以上哪个模拟函数较好?说明理由.,题型四,建立函数模型解决实际问题,【例4】 一工厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100时,每多订购1个,订购的全部零件的单价就降低 0.02元,但最低出厂单价不低于51元. (1)一次订购量为多少个时,零件的实际出厂价恰好为51元?,(2)设一次订购量为x个时零件的实际出厂价为p元,写出p=f(x).,(3)当销售商一次订购量分别为500,1 000个时,该工厂的利润分别为多少? (一个零件的利润=一个零件的实际出厂价-一个零件的成本),方法技巧 数学建模中要对所给条件进行简化及合理的假设,从中区分出主要条件及次要条件,再根据要求选取合适的数学知识来求解.,谢谢观赏！,
